Tensore di Schouten

In geometria differenziale e in relatività generale, il tensore di Schouten è un tensore di rango 2 introdotto da Jan Arnoldus Schouten definito per Template:Nowrap da:

$P=\frac{1}{n-2}(\mathrm{R}\mathrm{i}\mathrm{c}-\frac{R}{2(n-1)}g)\iff \mathrm{R}\mathrm{i}\mathrm{c}=(n-2)P+Jg,$

dove Ric è il tensore di Ricci (definito contraendo il primo e il terzo indice del tensore di Riemann), R è la curvatura scalare, g è la metrica riemanniana definita su una varietà differenziabile M, $J=\frac{1}{2(n-1)}R$ è la traccia di P and n è la dimensione della varietà M.

Il tensore di Weyl eguaglia il tensore di curvatura meno il prodotto di Kulkarni–Nomizu (una specifica operazione algebrica tra tensori) tra il tensore di Schouten tensor e il tensore metrico g. Adottando la notazione degli indici astratti si ha:

$R_{ijkl}=W_{ijkl}+g_{ik}{P}_{jl}-g_{jk}{P}_{il}-g_{il}{P}_{jk}+g_{jl}{P}_{ik}.$

Il tensore Schouten appare spesso nella geometria conforme a causa della sua legge di trasformazione conforme relativamente semplice

$g_{ij}\mapsto {\mathrm{\Omega }}^2{g}_{ij}\Rightarrow P_{ij}\mapsto P_{ij}-{\mathrm{\nabla }}_i{\mathrm{{\rm Y}}}_j+{\mathrm{{\rm Y}}}_i{\mathrm{{\rm Y}}}_j-\frac{1}{2}{\mathrm{{\rm Y}}}_k{\mathrm{{\rm Y}}}^k{g}_{ij},$

dove ${\mathrm{{\rm Y}}}_i:={\mathrm{\Omega }}^{-1}{\partial }_i\mathrm{\Omega }.$

Voci correlate

• Tensore di Bach
• Tensore di curvatura di Ricci