Successione di Mayer-Vietoris

In matematica, più precisamente in topologia algebrica, la successione di Mayer-Vietoris è uno strumento per calcolare alcuni invarianti topologici come i gruppi di omologia e di coomologia di uno spazio topologico attraverso i gruppi di omologia (o, rispettivamente, di coomologia) di suoi sottospazi e della loro intersezione; è analoga al teorema di Van Kampen per il calcolo del gruppo fondamentale. Prende il nome dai due matematici austriaci Walther Mayer e Leopold Vietoris, che lo dimostrarono negli anni Venti del Novecento.

Definizione

Dato uno spazio X e due suoi aperti U e V che ricoprono X, la successione di Mayer-Vietoris è la successione esatta $\begin{array}{cc}\cdots \to H_{n+1}(X)& \stackrel{{\partial }_{*}}{\to }{H}_n(U\cap V)\stackrel{(i_{*},j_{*})}{\to }{H}_n(U)\oplus H_n(V)\stackrel{k_{*}-l_{*}}{\to }{H}_n(X)\stackrel{{\partial }_{*}}{\to }\\ & \stackrel{{\partial }_{*}}{\to }{H}_{n-1}(U\cap V)\to \cdots \to H_0(U)\oplus H_0(V)\stackrel{k_{*}-l_{*}}{\to }{H}_0(X)\to 0.\end{array}$

dove gli H_i sono i gruppi di omologia (o di coomologia).

Le mappe i_* e j_* corrispondono alle inclusioni di $U\cap V$ in U e V rispettivamente, mentre k_* ed l_* a quelle di U e V in X.

Applicazioni

Omologia delle sfere

Una prima ed importante applicazione della successione di Mayer-Vietoris è il calcolo dei gruppi di omologia delle sfere n-dimensionali Sⁿ. Scegliendo due punti p e q della sfera, e

$U=S^n\setminus \{p\}V=S^n\setminus \{q\}$

questi sono omeomorfi a ${ℝ}^n$ (quindi contraibili e con gruppi di omologia, eccetto lo 0-esimo, banali) mentre la loro intersezione è omeomorfa a $S^{n-1}\times ℝ$, e quindi omotopicamente equivalente a S^{n -1}. Si ha dunque, per n > 1,

$H_n(U)\oplus H_n(V)\to H_n(S^n)\to H_{n-1}(U\cap V)\to H_{n-1}(U)\oplus H_{n-1}(V)$

ovvero

$0\to H_n(S^n)\to H_{n-1}(S^{n-1})\to 0$

e quindi $H_n(S^n)$ è isomorfo a $H_{n-1}(S^{n-1})$; da cui, usando l'omologia di S⁰ (che consiste di due punti), si ha

$H_n(S^k)\cong \{\begin{array}{cc}\mathbb{Z}& \text{se }n\in \{0,k\}\\ 0& \text{altrimenti}\end{array}$

Bouquet

La successione di Mayer-Vietoris permette di calcolare facilmente i gruppi di omologia del bouquet di due spazi se questi sono localmente contraibili (ovvero se i punti identificati hanno intorni di cui sono un loro retratto di deformazione): in questo caso, prendendo come U e V i due spazi più la parte l'intorno contraibile del punto base si ha

$H_n(U\cap V)=0\to H_n(U)\oplus H_n(V)\to H_n(X)\to 0=H_{n-1}(U\cap V)$

e quindi

$H_n(U)\oplus H_n(V)\cong H_n(X)$

Superfici

Un'altra applicazione è nel calcolo dei gruppi di omologia delle superfici; per questo è conveniente utilizzare la loro rappresentazione come quoziente di poligoni, prendendo come U l'interno del poligono (o meglio la sua immagine secondo la mappa quoziente) e come V la superficie meno un punto (interno al poligono): il primo aperto è contraibile, mentre il secondo è omotopicamente equivalente ad un bouquet di un certo numero (dipendente dal genere della superficie) di circonferenze, di cui è possibile calcolare l'omologia.

Bibliografia

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