Spicchio sferico

Uno spicchio sferico di raggio r e angolo diedro α

In geometria, uno spicchio sferico è la porzione di una palla (comunemente detta "sfera") delimitata da due semicerchi massimi e da un fuso sferico, definito come base dello spicchio. L'angolo tra i raggi dei due semicerchi è l'angolo diedro corrispondente allo spicchio e, dato un semicerchio che ruota attorno al proprio diametro, lo spicchio sferico viene generato da tale semicerchio che ruota per un'ampiezza pari a tale angolo diedro. Uno spicchio sferico sta quindi alla palla di cui è parte, come il suo angolo diedro sta a un angolo giro e, se tale angolo diedro è uguale a $\pi$ radianti o 180°, allora lo spicchio sferico viene definito "semisfera", mentre se l'angolo diedro è uguale a $2\pi$, allora lo spicchio costituisce una palla completa.

Proprietà

Uno spicchio sferico è dotato di due piani di simmetria, uno che divide lo spicchio in due spicchi più piccoli e simmetrici, e uno che divide longitudinalmente lo spicchio generando due semi-spicchi.

Il volume dello spicchio sferico può essere intuitivamente correlato al diametro, e quindi al raggio, del semicerchio che lo genera per rivoluzione, cosicché mentre il volume di una palla di raggio $r$ è dato da $\frac{4\pi r^3}{3}$, quello dello spicchio sferico con lo stesso raggio $r$ è dato da:

$V=\frac{\alpha }{2\pi }\cdot \frac{4}{3}\pi r^3=\frac{2}{3}\alpha r^3.$

Utilizzando lo stesso principio e considerando che l'area della superficie di una sfera è data da $4\pi r^2$, si può vedere che l'area della superficie del fuso sferico di angolo diedro $\alpha$ è data da:

$A=\frac{\alpha }{2\pi }\cdot 4\pi r^2=2\alpha r^2.$

Per cui, aggiungendo l'area dei due semicerchi massimi, si ottiene l'area della superficie dello spicchio sferico di angolo diedro $\alpha$:

$A=2\alpha r^2+2\frac{\pi r^2}{2}=2\alpha r^2+\pi r^2=r^2(2\alpha +\pi ).$

Considerando quindi che il volume di uno spicchio sferico sta al volume di una sfera come l'ampiezza del suo angolo diedro sta a un angolo giro (360°), si può concludere che, se $V_{\mathrm{w}}$ è il volume dello spicchio sferico e $V_{\mathrm{s}}$ è il volume della sfera, il loro rapporto risulta:

$\frac{V_{\mathrm{w}}}{V_{\mathrm{s}}}=\frac{\alpha }{2\pi }.$

Parimenti, se $S_{\mathrm{f}}$ è l'area della superficie del fuso sferico e $S_{\mathrm{s}}$ è l'area della superficie della sfera:

$\frac{S_{\mathrm{f}}}{S_{\mathrm{s}}}=\frac{\alpha }{2\pi }.$

Voci correlate

• Calotta sferica
• Settore sferico

Collegamenti esterni

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