Sistema pi

In matematica, un sistema pi, o anche $\pi$-sistema, su un insieme $\mathrm{\Omega }$ è una famiglia P non vuota di sottoinsiemi di $\mathrm{\Omega }$ (ovvero $P\subseteq$ $𝒫(\mathrm{\Omega })$), tale che l'intersezione di due elementi (e quindi di un numero finito di elementi) di P è ancora in P; ovvero P è stabile per intersezioni finite.

Proprietà

• Se A è un'algebra di insiemi (in particolare se è una σ-algebra), allora A è un $\pi$-sistema.
• Se A è un $\pi$-sistema che è anche un sistema Dynkin, allora A è una σ-algebra.

Unicità dell'estensione

Una misura finita è determinata unicamente dai suoi valori su di un $\pi$-sistema, come afferma la seguente proposizione. Siano $\mu$ e $\nu$ misure su uno spazio misurabile $(X,\mathrm{\Sigma })$ e sia $ℐ$ un $\pi$-sistema che generi $\mathrm{\Sigma }$. Se

• $\mu (X)=\nu (X)<\mathrm{\infty }$

• $\mu {|}_{ℐ}=\nu {|}_{ℐ}$

allora $\mu =\nu$

Bibliografia

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Voci correlate

• Lemma di Dynkin