Simmetria centrale nel piano complesso

In geometria, dati il numero complesso $z_0=x_0+i{y}_0$ e $C_0=P(z_0)$, di coordinate $(x_0,y_0)$, il punto corrispondente a $z_0$, la simmetria centrale di centro $C_0$, o rotazione attorno a $C_0$ di angolo $\alpha =\pi$, è la trasformazione

$\begin{array}{cc}{S}_{C_0}:ℂ& ⟶ℂ\\ z& ⟼z^{\prime }=2z_0-z.\end{array}$

Proprietà

Ricordando che la simmetria di centro $C_0$ altro non è che la rotazione di centro $C_0$ e angolo $\alpha =\pi$, cioè $a=-1$, è data da $z^{\prime }=az+(1-a)z_0$, si ha che $z^{\prime }=-1z+(1-(-1))z_0=2z_0-z$.

Passando in coordinate cartesiane se $z=x+iy$, $z^{\prime }=x^{\prime }+i{y}^{\prime }$ e $z_0=x_0+i{y}_0$, allora $z^{\prime }=x^{\prime }+i{y}^{\prime }=2(x_0+i{y}_0)-(x+iy)=(2x_0-x)+i(2y_0-y)$, da cui si ottiene:

$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=2x_0-x\\ y^{\prime }=2y_0-y,\end{array}$

che rappresentano esattamente le equazioni della simmetria centrale nel piano di centro $C_0(x_0,y_0)$.

Esempio

La scrittura complessa della simmetria centrale $S_{C_0}$ di centro $z_0=2+3i$ è data da $z^{\prime }=2z_0-z=2(2+3i)-z=-z+4+6i$.

Caso particolare

La simmetria $S_0$ di centro l'origine $O(0,0)$ degli assi coincide con la rotazione nel piano di centro l'origine e angolo $\alpha =\pi$.

$\begin{array}{cc}{S}_0\equiv {\rho }_{0,\pi }:ℂ& ⟶ℂ\\ z& ⟼z^{\prime }=-z.\end{array}$

Infatti:

$z^{\prime }=-z=\rho [\cos (\vartheta +\pi )+i\sin (\vartheta +\pi )]=\rho e^{i(\vartheta +\pi )}.$

Voci correlate

• Simmetria assiale nel piano complesso
• Rotazione nel piano complesso
• Similitudine nel piano complesso
• Traslazione nel piano complesso
• Trasformazione geometrica piana