Similitudine nel piano complesso

Template:F Si definisce similitudine nel piano complesso, di rapporto $k$ , con $k$ numero reale non nullo, la composizione di un'isometria (si veda trasformazione geometrica piana) del piano complesso e di una omotetia nel piano complesso di rapporto $k$ .

Le similitudini nel piano complesso possono essere suddivise in similitudini dirette e similitudini inverse.

Similitudine diretta

È la trasformazione data da

\begin{matrix} Σ : ℂ & ⟶ ℂ \\ z & ⟼ z^{'} = a z + b, \end{matrix}

con $| a | = k$ e $a, b \in ℂ$ .

Si osserva che:

se $a = 1$ e $b = 0$ , la trasformazione è l'identità $z^{'} = z$ e tutti i punti del piano complesso sono uniti (si veda trasformazione geometrica piana);
se $a = 1$ e $b \neq 0$ , la trasformazione è una traslazione $z^{'} = z + b$ , quindi nessun punto è unito;
se $a \neq 1$ , la trasformazione ha un solo punto unito $W$ corrispondente del numero complesso $w$ soluzione dell'equazione $w = a w + b$ , cioè

w = \frac{b}{1 - a} .

Studio della trasformazione $z^{'} = 2 (1 - i) z - 3 i$ .

Questa è una similitudine diretta relativa ai parametri:

a = 2 (1 - i)

e

b = - 3 i .

Il numero complesso $w$ corrispondente al punto unito si ottiene risolvendo l'equazione $w = 2 (1 - i) w - 3 i$ .

Svolgendo i calcoli quindi

w = \frac{- 3 i}{1 - 2 (1 - i)} = \frac{3 i}{1 - 2 i} = \frac{3 i (1 + 2 i)}{5} = - \frac{6}{5} + \frac{3}{5} i .

È la trasformazione data da

\begin{matrix} Σ : ℂ & ⟶ ℂ \\ z & ⟼ z^{'} = a \overline{z} + b, \end{matrix}

con $| a | = k$ e $a, b \in ℂ$ .