Traslazione nel piano complesso

In geometria, dati il numero complesso $v=p+iq$ e il suo corrispondente nel piano cartesiano, il punto $Q(v)=Q(p,q)$, per traslazione di vettore $\overrightarrow{v}=(p,q)$ si intende la trasformazione:

$\begin{array}{cc}{\tau }_{\overrightarrow{v}}:ℂ& ⟶ℂ\\ z& ⟼z^{\prime }=z+v\end{array}$

che associa al numero complesso $z$ il numero complesso $z^{\prime }=z+v$.

Proprietà

Dalla definizione si deduce che se il punto $P(z)$, di coordinate $(x,y)$, rappresenta $z$, allora la sua immagine sarà il punto $P^{\prime }(z^{\prime })$ di coordinate $(x^{\prime },y^{\prime })$, con $(x^{\prime },y^{\prime })=(x+p,y+q)$, che corrisponde alle equazioni che determinano la traslazione nel piano di vettore $\overrightarrow{v}=(p,q)$,

${\tau }_{\overrightarrow{v}}:\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=x+p\\ y^{\prime }=y+q.\end{array}$

Quindi:

sommare a un numero complesso $z=x+iy$ il numero complesso $v=p+iq$ equivale ad applicare una traslazione di vettore $(p,q)$ al punto $P$ di coordinate $(x,y)$.

Esempi

Esempio 1

La trasformazione

$\begin{array}{cc}{\tau }_{\overrightarrow{v}}:ℂ& ⟶ℂ\\ z& ⟼z-3+i\end{array}$

è la traslazione ${\tau }_{\overrightarrow{v}}$ di vettore $\overrightarrow{v}=(-3,1)$.

Esempio 2

Per determinare la scrittura complessa della traslazione $\tau$ che porta il punto $P(1+i)$ in $P^{\prime }(-2-i)$ è sufficiente osservare che $P(1+i)$ è il punto associato al numero complesso $z=1+i$, e che $P^{\prime }(-2-i)$ è il punto associato al numero complesso $z^{\prime }=-2-i$. Poiché sommare ad un numero complesso $z=x+iy$ il numero complesso $v=p+iq$ equivale applicare una traslazione di vettore $\overrightarrow{v}=(p,q)$ al punto $P(z)$ di coordinate $(x,y)$, si ha che $-2-i=1+i+p+iq,$ da cui si ottiene che $p+iq=-3-2i$.

Quindi

$\{\begin{array}{c}p=-3\\ q=-2.\end{array}$

La traslazione richiesta è:

$\begin{array}{cc}{\tau }_{\overrightarrow{v}}:ℂ& ⟶ℂ\\ z& ⟼z-3-2i.\end{array}$

Casi particolari

Si consideri il caso in cui $\overrightarrow{v}=(p,0)$. La traslazione di vettore $\overrightarrow{v}=(p,0)$ è la trasformazione:

$\begin{array}{cc}{\tau }_{(p,0)}:ℂ& ⟶ℂ\\ z& ⟼z^{\prime }=z+v\end{array}$

che associa al numero complesso $z$ il numero complesso $z^{\prime }=z+v=(x+p)+iy$.

È immediato osservare che questa è una traslazione orizzontale, ossia modifica solo la parte reale di $z$, mentre lascia invariata la parte immaginaria.

In modo analogo se $\overrightarrow{v}=(0,q)$. La traslazione di vettore $\overrightarrow{v}=(0,q)$ è la trasformazione:

$\begin{array}{cc}{\tau }_{(0,q)}:ℂ& ⟶ℂ\\ z& ⟼z^{\prime }=z+v\end{array}$

che associa al numero complesso $z$ il numero complesso $z^{\prime }=z+v=x+i(y+q)$.

È immediato osservare che questa è una traslazione verticale, ossia che modifica solo la parte immaginaria di $z$, mentre lascia invariata la parte reale.

Composizione di traslazioni

Date due traslazioni di vettori $\overrightarrow{v}=(p,q)$ e $\overrightarrow{u}=(r,s)$, la trasformazione composta

$\tau ={\tau }_{\overrightarrow{u}}\circ {\tau }_{\overrightarrow{v}}$

è una traslazione di vettore $\overrightarrow{w}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$.

Si osservi che la composizione di traslazioni gode della proprietà commutativa: $\tau ={\tau }_{\overrightarrow{u}}\circ {\tau }_{\overrightarrow{v}}={\tau }_{\overrightarrow{v}}\circ {\tau }_{\overrightarrow{u}}$, poiché è commutativa la somma di vettori $\overrightarrow{w}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$.

In particolare una qualsiasi traslazione ${\tau }_{\overrightarrow{v}}$ di vettore $\overrightarrow{v}=(p,q)$ è data dalla composizione delle traslazioni ${\tau }_{(p,0)}$ e ${\tau }_{(0,q)}$. Infatti, ricordando la somma di numeri complessi si ha che $(p,q)=(p,0)+(0,q)$.

Voci correlate

• Traslazione (geometria)
• Trasformazione geometrica piana