Residuo quadratico

In teoria dei numeri, un numero intero $q$ è chiamato residuo quadratico modulo $p$ se esiste un intero $x$ tale che:

x^{2} \equiv q (mod p) .

In caso contrario, $q$ è detto essere un non-residuo quadratico.

In effetti, un residuo quadratico modulo $p$ è un numero che ammette una radice quadrata nell'aritmetica modulare di modulo $p$ . La legge di reciprocità quadratica è un mezzo importante per determinare se un numero è un residuo o un non-residuo, unitamente al simbolo di Legendre ed al lemma di Gauss.

Se $p$ è un numero primo dispari, allora metà dei numeri $1, 2, \dots, p - 1$ sono residui e metà non-residui quadratici.

Somma dei residui quadratici

Considerando la somma dei residui quadratici modulo $p$ con $p$ primo maggiore di $3$ , ed indicandola con $\sum r$ , si ha:

\sum r = {\begin{matrix} p ϵ, & se p \equiv 1, 5 (\mod 8), \\ \frac{1}{3} p (p - 1 - ϵ), & se p \equiv 3 (\mod 8), \\ \frac{1}{2} p (p - 1 - 2 ϵ), & se p \equiv 7 (\mod 8), \end{matrix}

dove $ϵ = \frac{p - 1}{4}$ è il numero dei residui quadratici in ${1, 2, \dots, \frac{p - 1}{2}}$ .

H. Davenport, Aritmetica superiore, Zanichelli, Bologna, 1994, ISBN 8808091546 - Capitolo III