Sigma additività

In matematica, l'additività e σ-additività (sigma additività) di una funzione definita su dei sottoinsiemi di un insieme dato sono astrazioni delle proprietà della misura (lunghezza, area, volume) di un insieme: la "misura" dell'unione di due insiemi disgiunti non è altro che la somma delle due misure singole.

Definizioni

Sia $𝒜$ un'algebra di insiemi. Una funzione $\mu :𝒜\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ (vedi retta reale estesa) è detta (finitamente) additiva se, $\mathrm{\forall }A,B\in 𝒜$ disgiunti si ha:

$\mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)$

La funzione è detta numerabilmente additiva o σ-additiva se per ogni successione $A_1,A_2,\dots ,A_n,\dots \in 𝒜$ tra loro disgiunti e tali che la loro unione numerabile stia ancora in $𝒜$ si ha:

$\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\right)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (A_n)$

Ogni funzione σ-additiva è una funzione (finitamente) additiva, ma non vale il contrario.

Proprietà

Come conseguenza della definizione si ha che una funzione additiva non può assumere sia $-\mathrm{\infty }$ che $+\mathrm{\infty }$ come valori, perché l'espressione $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ è indefinita. Si può dimostrare per induzione matematica che una funzione additiva soddisfa:

$\mu \left(\bigcup _{n=1}^N{A}_n\right)=\sum _{n=1}^N\mu (A_n)$

per ogni collezione finita $A_1,A_2,\dots ,A_n$ di insiemi disgiunti in $𝒜$.

Utili proprietà di una funzione additiva $\mu$ sono:

• $\mu (\mathrm{\varnothing })=0$.
• Se $\mu$ è non negativa (cioè $\mathrm{\forall }E\in 𝒜\mu (E)\ge 0$) e $A\subset B$, allora $\mu (A)\le \mu (B)$.
• Se $A\subset B$ allora $\mu (B-A)=\mu (B)-\mu (A)$.
• Dati $A$ e $B$, $\mu (A\cup B)+\mu (A\cap B)=\mu (A)+\mu (B)$.

Esempi

Un esempio di funzione σ-additiva è la funzione $\mu$ definita sull'insieme delle parti dei numeri reali, tale che:

$\mu (A)=\{\begin{array}{cc}1& \text{ se }0\in A\\ 0& \text{ se }0\notin A\end{array}$

Bibliografia

• Template:En N. Bourbaki, Elements of mathematics. Integration, Addison-Wesley (1975) pp. Chapt.6;7;8
• Template:En N. Dunford, J.T. Schwartz, Linear operators. General theory, 1, Interscience (1958)

Voci correlate

• Algebra di insiemi
• Funzione additiva
• Funzione subadditiva
• Misura (matematica)
• Sigma-algebra

Collegamenti esterni

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