Semimartingala

Template:F In teoria della probabilità, un processo stocastico reale è detto semimartingala se può essere decomposto nella somma di una martingala locale e di un processo adattato a variazione finita. La classe delle semimartingale è il più grande insieme di processi rispetto a cui è possibile definire l'integrale di Itō. Essa comprende parecchi processi, tra cui, per esempio, ogni processo continuo e differenziabile, il moto browniano e il processo di Poisson. Inoltre, martingale, submartingale e supermartingale fanno tutte parte di questa classe.

Definizione

Un processo stocastico reale $X$ definito su uno spazio di probabilità filtrato $(\mathrm{\Omega },ℱ,({ℱ}_t{)}_{t\ge 0},\mathbb{P})$ è detto semimartingala se può essere decomposto come

$X_t=M_t+A_t$

dove $M$ è una martingala locale e $A$ è un processo adattato càdlàg.

Un processo stocastico $X=(X_1,\dots ,X_n)$ in ${ℝ}^n$ è una semimartingala se lo è ogni sua componente $X_i$.