Rodonea

Rodonee ottenute per valori diversi del parametro $\omega =\frac{n}{d}$

Vari modi per la costruzione di Rose di Grandi. Animazioni realizzate in MSWLogo

In geometria è detta rodonea la curva algebrica o trascendente il cui grafico è caratterizzato da una serie di avvolgimenti attorno ad un punto centrale. Nei casi più noti tali avvolgimenti producono figure a forma di rosone, da cui deriva alla curva il nome rodonea (dal greco rhódon, ròsa). La curva rodonea è chiamata anche rosa di Grandi da Luigi Guido Grandi, il matematico che la battezzò e studiò intorno al 1725.

La rodonea si può considerare un caso particolare di ipocicloide.

Equazione della curva

L'equazione della rodonea in coordinate polari $(\rho ,\theta )$ è:

$\rho =R\sin \omega \theta$,

dove $R$ è un numero reale positivo che rappresenta la massima distanza della curva dal centro degli avvolgimenti, e $\omega$ è un numero reale positivo che determina la forma della curva. È possibile anche scrivere la rodonea come $\rho =R\cos \omega \theta$, che produce una figura analoga, ma ruotata di un angolo pari a $\frac{\pi }{2\omega }$ radianti.

Proprietà

Se $\omega$ è un numero intero, la curva ha un numero finito di avvolgimenti, tutti passanti per l'origine degli assi, che generano una serie di "petali" componenti la figura a forma di rosone; il numero dei petali è pari a:

• $\omega$, se $\omega$ è dispari;
• $2\omega$, se $\omega$ è pari.

Osserviamo che non è possibile ottenere rose con un numero di petali pari a $4n+2$. Per $\omega =1$ si ottiene un unico petalo, ovvero una circonferenza non centrata nell'origine.

L'area della superficie racchiusa dalla curva è pari a $\frac{\pi R^2}{2}$ per $k$ pari, a $\frac{\pi R^2}{4}$ per $k$ dispari.

Se $\omega$ è un numero razionale $\frac{n}{d}$, la curva ha un numero finito di avvolgimenti, che si intersecano in più punti creando una serie di petali parzialmente sovrapposti; nella figura a fianco sono visualizzate le rodonee ottenute per alcuni valori di $n$ e $d$. Come caso particolare, per $\omega =\frac{1}{2}$, si ottiene il folium di Dürer.

In entrambi i casi precedenti, la curva ottenuta è algebrica; se invece $\omega$ è un numero irrazionale, la curva è trascendente ed ha un numero infinito di avvolgimenti che non si chiudono e formano un insieme denso, passando arbitrariamente vicino a ogni punto del cerchio di raggio $R$.

Bibliografia

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Voci correlate

• Ipocicloide
• Figura di Lissajous