Risoluzione all'identità

In matematica, la risoluzione all'identità è una formula che ha importanti risvolti pratici nell'algebra lineare e nell'analisi funzionale, in particolare nella risoluzione di problemi legati a spazi vettoriali dotati di una base ortonormale.

La relazione

Sia $T$ un operatore autoaggiunto ed $E\subset ℝ$ un insieme di Borel. Detta ${\mathrm{𝟏}}_E$ la funzione indicatrice di $E$, allora ${\mathrm{𝟏}}_E(T)$ è una proiezione autoaggiunta su $H$, e la risoluzione all'identità:

$\mathrm{\Omega }:E\mapsto {\mathrm{𝟏}}_E(T)$

è una misura a valori di proiettore per $T$. Se $T$ è ambientato in uno spazio di Hilbert $H$, la misura di $ℝ$ rispetto a $\mathrm{\Omega }$ è l'operatore identità su $H$.

Adoperando la notazione di Dirac, in cui $|\cdot ⟩$ rappresentano vettori in $H$ e $⟨\cdot |$ covettori (cioè funzionali lineari) nello spazio duale $H^{*}$, è possibile rappresentare ogni vettore $|\psi ⟩$ nella forma:

$|\psi ⟩=a_1|e_1⟩+\cdots +a_n|e_n⟩=\sum _k{a}_k|e_k⟩$

dove l'insieme di vettori $\{|e_k⟩{\}}_{k=1}^n$ è una base ortonormale di tale spazio rispetto al prodotto hermitiano $⟨\cdot |\cdot ⟩$ definito su $H$. La normalizzazione è data da:

$⟨\psi |\psi ⟩=1$

In particolare, essendo la base ortonormale, si ha che:

$⟨e_i|e_j⟩={\delta }_{ij}$

dove ${\delta }_{ij}$ è la delta di Kronecker. La risoluzione all'identità è data dalla relazione di completezza:

$i{d}_H=\sum _i|i⟩⟨i|$

dove $i{d}_H$ è l'identità su $H$ di dimensione $n$.

In uno spazio di Hilbert allargato, di dimensione infinita (e non numerabile), si scrive:

$\int dx|x⟩⟨x|=id$

dove l'integrale è esteso su tutto l'insieme di variabilità delle $x$.

Dimostrazione

Per la linearità del prodotto hermitiano, dato un qualunque vettore:

$|\psi ⟩=\sum _k{a}_k|e_k⟩\in H$

vale la proprietà:

$⟨e_j|\psi ⟩=⟨e_j|\left(\sum _k{a}_k|e_k⟩\right)=\sum _k{a}_k⟨e_j|e_k⟩=a_j$

Si può dunque scrivere l'identità:

$(i{d}_H-\sum _k|e_k⟩⟨e_k|)|\psi ⟩=|\psi ⟩-\sum _k|e_k⟩⟨e_k|\psi ⟩=|\psi ⟩-\sum _k|e_k⟩a_k=|\psi ⟩-|\psi ⟩=0$

da cui discende

$i{d}_H-\sum _k|e_k⟩⟨e_k|=O_H$

dove $O_H$ è la funzione nulla su $H$, cioè la tesi.

Bibliografia

• F. Riesz, B. Szökefalvi-Nagy, Functional analysis , F. Ungar (1955)
• N.I. Akhiezer, I.M. Glazman, Theory of linear operators in a Hilbert space , 1–2 , F. Ungar (1961–1963)
• L.V. Kantorovich, G.P. Akilov, Functional analysis in normed spaces , Pergamon (1964)

Voci correlate

• Funzione identità
• Identità (matematica)
• Matrice identità
• Misura a valori di proiettore
• Operatore autoaggiunto
• Proiezione (geometria)
• Teoria spettrale

Collegamenti esterni

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