Riordinamento radiale

Funzione non simmetrica e sua riarrangiata con la stessa norma $W^{1,p}$

In analisi funzionale, una branca della matematica,il riordinamento monotono viene utilizzato quando, data una funzione generica dello spazio $L^p$, può essere comodo riuscire ad associarne una nuova avente stessa norma, ma più regolare, in particolare a simmetria radiale.

Definizione

Insiemi

Dato un insieme misurabile $A$, il suo riordinamento radiale $A^{*}$ in ${ℝ}^n$ è dato da:

$A^{*}=\{x\in {ℝ}^n:{\omega }_n\cdot |x{|}^n<|A|\}$

dove ${\omega }_n$ è il volume della sfera unitaria e $|A|$ il volume di $A$. Si tratta quindi di una sfera centrata nell'origine che ha lo stesso volume di $A$.

Funzioni

Il riordinamento radiale di una funzione misurabile non negativa $f$ i cui insiemi di livello hanno misura finita è:

$f^{*}(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{𝕀}_{\{y:f(y)>t{\}}^{*}}(x)dt$

Ovvero, il valore di $f^{*}(x)$ fornisce il valore $t$ tale per cui il raggio del riordinamento radiale di $\{y:f(y)>t\}$ è $x$. Questa definizione è motivata dal fatto che l'identità:

$g(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{𝕀}_{\{y:g(y)>t\}}(x)dt$

è valida per ogni funzione non-negativa $g$; quindi la definizione data è l'unica che implica ${𝕀}_A^{*}={𝕀}_{A^{*}}$.

Proprietà

• Simmetria radiale: è evidente dalla definizione, infatti se $|x_1|=|x_2|$ allora $u^{*}(x_1)=u^{*}(x_2)$.

• Monotonia: è evidente dalla definizione, infatti se $|x_1|<|x_2|$ allora:

$\sup \{t\in [0,M):\mu (t)>{\omega }_n|x_1{|}^n\}\ge \sup \{t\in [0,M):\mu (t)>{\omega }_n|x_2{|}^n\}$

• Semicontinuità inferiore.

Teoremi

Stima di decrescita

Se $u$ è lipschitziana con costante di Lipschitz L e $t>h>0$, allora vale la stima di decrescita per la misura dei sopralivelli:

$\mu (t-h)-\mu (t)\ge \frac{h}{L}{\omega }_n^{\frac{1}{n}}n\mu (t{)}^{\frac{n-1}{n}}$

Dimostrazione

Il numero $\mu (t-h)-\mu (t)$ rappresenta la misura dell'insieme $E_{t-h,t}=\{x:t-h<u(x)⩽t\}$, cioè:

$\mu (t-h)-\mu (t)={\mathscr{H}}^n(E_{t-h,t})$

La $u$ è lipschitziana, si può quindi usare la formula di coarea (seconda versione) con le funzioni $u$ e $\frac{1}{|\mathrm{\nabla }u|}$, e si ottiene:

$\begin{array}{cc}\frac{1}{h}{\mathscr{H}}^n(E_{t-h,t})& =\frac{1}{h}\underset{E_{t-h,t}}{\int }\frac{1}{|\mathrm{\nabla }u(x)|}|\mathrm{\nabla }u(x)|dx\\ & =\frac{1}{h}\underset{t-h}{\overset{t}{\int }}\underset{u^{-1}(s)}{\int }\frac{1}{|\mathrm{\nabla }u(x)|}d{\mathscr{H}}^{n-1}ds\\ & ⩾\frac{1}{h}\underset{t-h}{\overset{t}{\int }}\underset{u^{-1}(t)}{\int }\frac{1}{L}d{\mathscr{H}}^{n-1}\\ & =\frac{1}{Lh}\underset{t-h}{\overset{t}{\int }}{\mathscr{H}}^{n-1}(u^{-1}(s))ds\\ & ⩾\frac{1}{L}\underset{s\in (t-h,t)}{\inf }{\mathscr{H}}^{n-1}(u^{-1}(s))\end{array}$

Ricordando che $\mu (s)=|E_s|$ e che il bordo di $E_s$ è contenuto nell'insieme $\{x:u(x)=s\}$, per cui se si usa la disuguaglianza isoperimetrica si ha che:

$\begin{array}{cc}(\mu (s){)}^{1-\frac{1}{n}}& ⩽n^{-1}{\omega }_n^{-\frac{1}{n}}{\mathscr{H}}^{n-1}(\partial E_s)\\ & ⩽n^{-1}{\omega }_n^{-\frac{1}{n}}{\mathscr{H}}^{n-1}(\{x:u(x)=s\}).\end{array}$:

La funzione $\mu$ è monotona decrescente ed è una funzione semicontinua inferiormente, per cui passando all'estremo inferiore si ottiene:

$(\mu (t){)}^{1-\frac{1}{n}}⩽n^{-1}{\omega }_n^{-\frac{1}{n}}\underset{s\in (t-h,t)}{\inf }{\mathscr{H}}^{n-1}(\{x:u(x)=s\}).$:

Mettendo insieme le relazioni trovate:

$\mu (t-h)-\mu (t)⩾\frac{h}{L}{\omega }^{\frac{1}{n}}n\mu (t{)}^{\frac{n-1}{n}}$

e si trova così la stima cercata.

Lipschitzianità del riordinamento

Sia $u:{ℝ}^n\to {ℝ}^{+}$ tale che $\underset{|x|\to +\mathrm{\infty }}{\lim }u(x)=0$. Se $u$ è Lipschitziana con costante di Lipschitz $L$ allora anche la $u^{*}(x)$ è Lipschitziana con la stessa costante di Lipschitz.

Norma $L^p$ del riordinamento

Se $u$ è una funzione appartiene allo spazio $L^p$, anche il suo riordinamento appartiene a tale spazio, e inoltre la norma è la stessa. Quindi:

$\Vert u^{*}{\Vert }_{L^p}=\Vert u{\Vert }_{L^p}$

Dimostrazione

Esprimendo il calcolo della norma di $u$ in funzione della misura dei sopralivelli:

$\begin{array}{cc}\underset{{ℝ}^n}{\int }u(x{)}^{p}dx& =\underset{{ℝ}^n}{\int }(\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\chi }_{(0,u(x))}(t)p{t}^{p-1}dt)dx\\ & =\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}p{t}^{p-1}(\underset{{ℝ}^n}{\int }{\chi }_{(t,+\mathrm{\infty })}(u(x))dx)dt\\ & =\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}p{t}^{p-1}\mu (t)dt\end{array}$

Lo stesso calcolo vale per la norma di $u^{*}$.

Norma $W^{1,p}$ del riordinamento

Vale la disuguaglianza di Pólya-Szegő, per cui se una funzione appartiene allo spazio $W^{1,p}$ anche il suo riordinamento appartiene a tale spazio, e inoltre la norma del riordinamento è minore o uguale alla norma della funzione.

Bibliografia

• G.Talenti, Best Constant in Sobolev Inequality, Annali di Matematica Pura e Applicata, volume 110 (1976), pp.353-376.
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Voci correlate

• Disuguaglianza di Pólya-Szegő
• Disuguaglianza di Sobolev
• Formula di coarea
• Teorema di Brothers-Ziemer