Teorema di Brothers-Ziemer

Il teorema di Brothers-Ziemer afferma che la norma L^p del gradiente di una funzione è sempre maggiore o uguale della norma L^p del gradiente del suo riordinamento monotono decrescente. Se inoltre la misura n-1 dei punti a gradiente nullo è zero vale l'uguaglianza a meno di traslazione.

Se si indica con ${\omega }_n$ il volume della sfera unitaria di ${ℝ}^n$ e con $M$ il sup-essenziale della funzione $u$, eventualmente anche $+\mathrm{\infty }$, si definisce la misura dei sopralivelli per $t\in [0,M)$ come:

$\mu (t)={\mathscr{H}}^n(\{x:u(x)>t\})$

dove ${\mathscr{H}}^n$ è la misura di Hausdorff n-dimensionale. Si indica con $u^{*}$ il riordinamento definito da:

$u^{*}(x)=\sup \{t\in [0,M):\mu (t)>{\omega }_n|x{|}^n\}$

Il teorema

Siano $1\le p<+\mathrm{\infty }$ e $u:{ℝ}^n\to {ℝ}^{+}$ di $W^{1,p}({ℝ}^n)$. Allora vale:

$\underset{{ℝ}^n}{\int }|\mathrm{\nabla }{u}^{*}{|}^{p}d{\mathscr{H}}^n\le \underset{{ℝ}^n}{\int }|\mathrm{\nabla }u{|}^{p}d{\mathscr{H}}^n$

Inoltre se $p>1$ e:

${\mathscr{H}}^n(\{x:|\mathrm{\nabla }u(x)|=0\}\cap u^{-1}(0,M))=0$

e vale l'uguaglianza tra i due integrali, allora la funzione $u^{*}$ è uguale quasi ovunque a una traslata di $u$.

Conseguenze

Funzione non simmetrica e sua riarrangiata con la stessa norma $W^{1,p}$

Il teorema di Brothers e Ziemer risulta un completamento della disuguaglianza di Pólya-Szegő. Esso afferma che il riordinamento radiale di una funzione ha norma $W^{1,p}$ minore o al più uguale della funzione stessa. In pratica se si vuole minimizzare la norma in $W^{1,p}$ è possibile cercare tale minimo tra le funzioni a simmetria radiale, avendo il riordinamento tale proprietà; potrebbero comunque esistere funzioni che non hanno simmetria radiale ma che minimizzano tale norma.

In figura è presentata una funzione non simmetrica ed il suo riordinamento radiale. È evidente in questo caso che la norma $W^{1,p}$ delle due funzioni è la stessa. L'esempio costruito presenta una funzione in cui l'insieme dei punti a gradiente nullo è positivo. Il teorema di Brothers e Ziemer, con l'ulteriore ipotesi che l'insieme in cui il gradiente è nullo abbia misura nulla, permette di concludere che le funzioni che minimizzano la norma $W^{1,p}$ sono tutte e sole quelle a simmetria radiale. Il teorema di Brothers e Ziemer risulta particolarmente comodo per stabilire il valore delle costanti ottimali nelle disuguaglianze di Sobolev.

Bibliografia

• Template:EnJ. Brothers, W.Ziemer, Minimal rearrangements of Sobolev functions, J. Reine Angew Math. 384 (1988), 153-179

Voci correlate

• Disuguaglianza di Pólya-Szegő
• Gradiente
• Riordinamento radiale
• Spazio di Sobolev