Simbolo di Christoffel

In geometria differenziale, i simboli di Christoffel sono dei coefficienti che codificano completamente una connessione in una carta particolare. I simboli dipendono fortemente dalla carta scelta: questi non sono infatti dei tensori. Si devono a Elwin Bruno Christoffel.

Definizione

Sia $M$ una varietà differenziabile dotata di una connessione, ovvero di una derivata covariante $\mathrm{\nabla }$. Una carta fornisce un diffeomorfismo fra un aperto di $M$ ed un aperto $A$ di ${ℝ}^n$. Nell'aperto $A$ sono definiti i campi di vettori coordinati costanti $e_1,\dots ,e_n$ e quindi tutti i tensori possono essere agevolmente scritti in coordinate. In un punto di $A$, la derivata covariante del campo $e_i$ nella $j$-esima direzione è una combinazione lineare

${\mathrm{\nabla }}_j{e}_i={\mathrm{\Gamma }}_{ij}^1{e}_1+\dots +{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^n{e}_n={\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k{e}_k.$

con alcuni coefficienti ${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k$. Nell'ultima espressione si fa uso della notazione di Einstein. Questi coefficienti sono i simboli di Christoffel della connessione, nella carta scelta.

I simboli di Christoffel sono definiti per ogni punto: quindi ogni ${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k$ è una funzione liscia:

${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k:A\to ℝ$

dipendente da tre parametri $i,j,k$. I simboli di Christoffel descrivono completamente e concretamente la derivata covariante $\mathrm{\nabla }$ nella carta.

Notazione

In alcuni testi è possibile che i simboli di Christoffel siano presentati con una notazione diversa. Una prima possibilità è la seguente:

$\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{\sigma }{\mu \lambda }\right\}={\mathrm{\Gamma }}_{\mu \lambda }^{\sigma }\{\mu \lambda ,\sigma \}={\mathrm{\Gamma }}_{\sigma ,\mu \lambda }=g_{\sigma \rho }{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \lambda }^{\rho }.$

Mentre nel testo originale di Einstein si trova la notazione

$\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{\mu \lambda }{\sigma }\right\}={\mathrm{\Gamma }}_{\mu \lambda }^{\sigma }\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{\mu \lambda }{\sigma }\right]={\mathrm{\Gamma }}_{\sigma ,\mu \lambda }=g_{\sigma \rho }{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \lambda }^{\rho }.$

Proprietà

Oggetto non tensoriale

Nonostante la notazione, i simboli di Christoffel non sono dei tensori. Con questa espressione, un po' impropria, si intende dire la seguente cosa: si prendano due carte $(U,\phi )$ e $(U,\hat{\phi })$ definite su un aperto comune $U$, esse inducono su $U$ delle coordinate differenti $(x_1,\dots ,x_n),({\hat{x}}_1,\dots ,{\hat{x}}_n)$ che generano rispettivamente dei simboli di Christoffel ${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k$ e ${\hat{\mathrm{\Gamma }}}_{ij}^k$. A questo punto si possono ben definire localmente due tensori:

$t={\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k\frac{\partial }{\partial x^k}\otimes d{x}^i\otimes d{x}^j\text{ e }\hat{t}={\hat{\mathrm{\Gamma }}}_{ij}^k\frac{\partial }{\partial {\hat{x}}^k}\otimes d{\hat{x}}^i\otimes d{\hat{x}}^j$.

Se ora le ${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k$ fossero le componenti (nella carta in cui sono calcolate) di un unico campo tensoriale esso dovrebbe coincidere necessariamente sia con $t$ che con $\hat{t}$, quindi la relazione tra i ${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k$ e i ${\hat{\mathrm{\Gamma }}}_{ij}^k$ dovrebbe essere quella che lega le componenti di un tensore $(1,2)$ in due carte diverse. Ma noi abbiamo già una formula per calcolare sia i ${\hat{\mathrm{\Gamma }}}_{ij}^k$ che i ${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k$ e quindi o trasformano nel modo corretto o non lo fanno. Il computo mostra che non lo fanno, essi sono collegati dalla relazione:

${\hat{\mathrm{\Gamma }}}_{ij}^k=\frac{\partial x^p}{\partial {\hat{x}}^i}\frac{\partial x^q}{\partial {\hat{x}}^j}{\mathrm{\Gamma }}_{pq}^r\frac{\partial {\hat{x}}^k}{\partial x^r}+\frac{\partial {\hat{x}}^k}{\partial x^m}\frac{{\partial }^2{x}^m}{\partial {\hat{x}}^i\partial {\hat{x}}^j}.$

A causa del secondo addendo a destra, i simboli di Christoffel non mutano come le coordinate di un tensore $(1,2)$.

Torsione

Template:Vedi anche I simboli di Christoffel non sono tensori. La differenza fra due simboli di Christoffel è però un tensore: nella formula relativa ad un cambiamento di coordinate, il secondo addendo a destra (descritto sopra) infatti si cancella e resta solo il primo. D'altra parte, se ${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k$ è un simbolo di Christoffel, anche il simbolo ${\mathrm{\Gamma }}_{ji}^k$ ottenuto scambiando le variabili $i$ e $j$ è un simbolo di Christoffel (e descrive un'altra connessione). La loro differenza

$T_{ij}^k={\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k-{\mathrm{\Gamma }}_{ji}^k.$

è quindi un tensore. Questo tensore è la torsione della connessione. Quindi una connessione ha torsione (ovunque) nulla se e solo se i simboli di Christoffel sono (ovunque) simmetrici rispetto ai due indici in basso.

Connessione di Levi-Civita

Template:Vedi anche Fissato un tensore metrico $g$ su una varietà differenziabile, esiste un'unica connessione senza torsione in cui il tensore metrico ha derivata covariante nulla. Questa connessione è detta connessione di Levi-Civita ed è quella abitualmente utilizzata per una varietà riemanniana o pseudo-riemanniana. I simboli di Christoffel che definiscono questa connessione sono ricavabili in una qualsiasi carta dalla relazione seguente:

${\mathrm{\Gamma }}_{jk}^i=\frac{1}{2}{g}^{il}(\frac{\partial g_{lj}}{\partial x^k}+\frac{\partial g_{lk}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^l})=\frac{1}{2}{g}^{il}({\partial }_k{g}_{lj}+{\partial }_j{g}_{lk}-{\partial }_l{g}_{jk})$

Nella relazione sono presenti il tensore metrico e le sue derivate parziali rispetto alle coordinate fissate dalla carta (le derivate parziali non coincidono con la derivata covariante del tensore metrico, che è nulla). Nell'ultimo passaggio si è utilizzata la convenzione :

$\frac{\partial }{\partial x^k}={\partial }_k$

per le derivate parziali.

Applicazioni

Derivata covariante di un campo tensoriale

La derivata covariante di un campo vettoriale $v$ può essere calcolata in una carta facendo uso dei simboli di Christoffel nel modo seguente:

${\mathrm{\nabla }}_j{v}^i=\frac{\partial v^i}{\partial x^j}+{\mathrm{\Gamma }}_{jk}^i{v}^k.$

Analogamente, la derivata covariante di un campo tensoriale di tipo (0,1) è data da:

${\mathrm{\nabla }}_j{v}_i=\frac{\partial v_i}{\partial x^j}-{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k{v}_k$

La derivata covariante di un campo tensoriale di tipo (2,0) è data da:

${\mathrm{\nabla }}_k{v}^{ij}=\frac{\partial v^{ij}}{\partial x^k}+{\mathrm{\Gamma }}_{k\ell }^i{v}^{\ell j}+{\mathrm{\Gamma }}_{k\ell }^j{v}^{i\ell }$

Bibliografia

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Voci correlate

• Connessione di Levi-Civita
• Derivata covariante
• Tensore di Riemann