Quadrato

Rappresentazione di quadrato nella geometria euclidea.

Un quadrato, in geometria, è un quadrilatero regolare, cioè un poligono con quattro lati e quattro angoli congruenti.

Confronto con altre figure geometriche

Il quadrato è un caso particolare di rombo (in quanto ha tutti e quattro i lati congruenti) e di rettangolo (in quanto ha quattro angoli congruenti) quindi è un caso particolare di parallelogramma (in quanto ha i lati a due a due paralleli).

Caratteristiche principali nella geometria euclidea

Le diagonali di un quadrato euclideo sono congruenti e perpendicolari, il loro punto di intersezione le divide a metà e misurano come il lato moltiplicato per la radice quadrata di 2:

$\text{diagonale}=\text{lato}\cdot \sqrt{2}$

Questa formula si dimostra con il teorema di Pitagora. Ciascuna diagonale, infatti, divide il quadrato in due triangoli rettangoli per i quali vale che la somma dei quadrati costruiti sui cateti è equivalente al quadrato costruito sull'ipotenusa (che è la diagonale).

$AC=\sqrt{A{D}^2+C{D}^2}=\sqrt{l^2+l^2}=\sqrt{2\cdot l^2}=l\cdot \sqrt{2}$.

Il perimetro di un quadrato, visto che ha tutti i lati congruenti, misura:

$\text{lato}\cdot 4$

L'area di un quadrato, visto che l'altezza e la base sono congruenti, misura:

${\text{lato}}^2$

ma si può calcolare anche come

$\frac{{\text{diagonale}}^2}{2}$ per il teorema di Pitagora.

Da ciò si deduce che la diagonale di un quadrato di area a è il lato del quadrato con Area 2a.

Il quadrato possiede 4 assi di simmetria: 2 passanti per una coppia di vertici opposti e 2 passanti per una coppia di punti medi dei lati.

Il punto di intersezione delle due diagonali è detto centro del quadrato ed è centro di simmetria di rotazione e di simmetria centrale per il quadrato. L'ordine della simmetria di rotazione del quadrato è 4; in altre parole, il quadrato è invariante per le rotazioni intorno al suo centro relative agli angoli $k\frac{\pi }{2}\text{rad}=k90^{\circ }\text{ per }k=0,1,2,3$; naturalmente la rotazione di $\pi$ radianti è la simmetria centrale.

Equazione di un quadrato su un piano cartesiano

Il quadrato $Q$ di lato 2 e centro l'origine può essere descritto in vari modi. Ad esempio:

$Q=\{(x,y)||x|\le 1,|y|\le 1\}.$

Il suo bordo è quindi

$\partial Q=\{(x,y)||x|=1,|y|\le 1\}\cup \{(x,y)||y|=1,|x|\le 1\}.$

Questo può essere anche descritto come

$\partial Q=\{(x,y)|0<\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}^{2n}+y^{2n}<\mathrm{\infty }\}.$ In matematica, questo quadrato rappresenta la palla unitaria del piano rispetto alla norma uniforme.

Più in generale, l'equazione cartesiana di un quadrato avente centro nell'origine degli assi è: $Q:|ax+by|+|bx-ay|\le 1,a\ne 0\vee b\ne 0$

Se si considera invece il centro del quadrato nel punto di coordinate $(x_0,y_0)$ l'equazione diventa:

$Q:|a(x-x_0)+b(y-y_0)|+|b(x-x_0)-a(y-y_0)|\le 1$

da cui:

$Q:|ax+by-a{x}_0-b{y}_0|+|bx-ay-b{x}_0+a{y}_0|\le 1$

ovvero nella forma più generale possibile:

$Q:|ax+by+p|+|bx-ay+q|\le 1,a\ne 0\vee b\ne 0$

Il cui bordo è quindi:

$Q:|ax+by+p|+|bx-ay+q|=1,a\ne 0\vee b\ne 0$

Esistenza del quadrato

Rappresentazione di quadrato nel disco di Poincaré, esso ha angoli acuti.

Una dimostrazione costruttiva dell'esistenza del quadrato è data da Euclide nella proposizione 46 del I libro degli Elementi, subito prima di usare questa figura nell'enunciare e dimostrare il teorema di Pitagora. Nella tradizione didattica moderna l'esistenza dei quadrati è invece in genere data per scontata. Bisogna notare che la dimostrazione euclidea usa indirettamente il V postulato e l'esistenza di quadrati non è garantita nelle geometrie non euclidee.

Ad esempio, in geometria iperbolica non esistono poligoni con quattro lati uguali e quattro angoli retti: la somma degli angoli interni di un quadrilatero iperbolico è infatti sempre strettamente minore di un angolo giro.

Costruzione

Un quadrato può essere inscritto in una circonferenza con riga e compasso. Qui sotto ne è mostrata un'animazione:

Costruzione del quadrato inscritto nella circonferenza

Voci correlate

• Quadrilatero
• Quadrato (algebra)
• Teorema delle intersezioni dimensionali
• Sezioni ipercubiche ortoassiali

Collegamenti esterni

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