Proprietà dell'integrale di Riemann

Linearità

Siano $f$ e $g$ due funzioni continue definite in un intervallo $[a,b]$ e siano $\alpha ,\beta \in ℝ$. Allora:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}(\alpha f(x)+\beta g(x))dx=\alpha \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx+\beta \underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx.$

Dimostrazione

Dalla definizione si ha che:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}(\alpha f(x)+\beta g(x))dx=\underset{c_{𝒫}\to 0}{\lim }\sum _{i=0}^{n-1}(\alpha f(t_i)+\beta g(t_i))(x_{i+1}-x_i),$

da cui:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}(\alpha f(x)+\beta g(x))dx=\underset{c_{𝒫}\to 0}{\lim }(\alpha \sum _{i=0}^{n-1}f(t_i)(x_{i+1}-x_i)+\beta \sum _{i=0}^{n-1}g(t_i)(x_{i+1}-x_i)).$

Dalla proprietà distributiva e dal fatto che il limite della somma coincide con la somma dei limiti si ha:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}(\alpha f(x)+\beta g(x))dx=\alpha \underset{c_{𝒫}\to 0}{\lim }\sum _{i=0}^{n-1}f(t_i)(x_{i+1}-x_i)+\beta \underset{c_{𝒫}\to 0}{\lim }\sum _{i=0}^{n-1}g(t_i)(x_{i+1}-x_i),$

da cui discende la proprietà di linearità.

Additività

Sia $f$ continua e definita in un intervallo $[a,b]$ e sia $c\in [a,b]$. Allora:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f(x)dx.$

Dimostrazione

Dalla definizione si ha che

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{c_{𝒫}\to 0}{\lim }\sum _{i=0}^{n-1}f(t_i)(x_{i+1}-x_i),$

da cui se si ha $c\in [a,b]$ esiste, eventualmente affinando la partizione, un intero $h$ tale che $0\le h\le n$ e $x_h=c,$ da cui risulti:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{c_{𝒫}\to 0}{\lim }(\sum _{i=0}^{h-1}f(t_i)(x_{i+1}-x_i)+\sum _{i=h}^{n-1}f(t_i)(x_{i+1}-x_i)),$

e dal fatto che il limite della somma coincide con la somma dei limiti si ha:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{c_{𝒫}\to 0}{\lim }\sum _{i=0}^{h-1}f(t_i)(x_{i+1}-x_i)+\underset{c_{𝒫}\to 0}{\lim }\sum _{i=h}^{n-1}f(t_i)(x_{i+1}-x_i),$

da cui discende la proprietà di additività.

Monotonia

Siano $f$ e $g$ due funzioni continue definite in un intervallo $[a,b]$ e tali che $f(x)\le g(x)$ in $[a,b]$. Allora:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx.$

Dimostrazione

Infatti se si ha che $f(x)\le g(x)$ nel compatto $[a,b]$, effettuando una partizione di tale compatto (ovviamente la disuguaglianza permane), per ogni $i=0,\dots ,n-1,$ si ottiene:

$f(t_i)\le g(t_i),$

da cui

$f(t_i)(x_{i+1}-x_i)\le g(t_i)(x_{i+1}-x_i).$

A questo punto, poiché la relazione è valida per qualsiasi intervallo in cui è suddiviso il compatto, vale:

$\sum _{i=0}^{n-1}f(t_i)(x_{i+1}-x_i)\le \sum _{i=0}^{n-1}g(t_i)(x_{i+1}-x_i).$

Come conseguenza del corollario del teorema della permanenza del segno dei limiti, applicando il limite alle somme integrali di Riemann (ottenendo quindi l'integrale) la disuguaglianza resta immutata

$\underset{c_{𝒫}\to 0}{\lim }\sum _{i=0}^{n-1}f(t_i)(x_{i+1}-x_i)\le \underset{c_{𝒫}\to 0}{\lim }\sum _{i=0}^{n-1}g(t_i)(x_{i+1}-x_i).$

Da ciò deriva la proprietà di monotonia degli integrali.

Valore assoluto

Sia $f$ una funzione integrabile in un intervallo $[a,b]$, allora si ha:

$|\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx|\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx.$

Dimostrazione

Essendo valida la relazione

$-|f(t_i)|\le f(t_i)\le |f(t_i)|,$

per ogni $i=0,\dots ,n-1,$ di una partizione di $[a,b]$, è possibile moltiplicare ogni membro per il fattore $(x_{i+1}-x_i)$

$-|f(t_i)|(x_{i+1}-x_i)\le f(t_i)(x_{i+1}-x_i)\le |f(t_i)|(x_{i+1}-x_i),$

e sommare membro a membro le varie componenti della relazione, ottenendo:

$-\sum _{i=0}^{n-1}|f(t_i)|(x_{i+1}-x_i)\le \sum _{i=0}^{n-1}f(t_i)(x_{i+1}-x_i)\le \sum _{i=0}^{n-1}|f(t_i)|(x_{i+1}-x_i).$

Applicando il limite in modo da affinare gli intervalli della partizione si ottengono gli integrali:

$-\underset{c_{𝒫}\to 0}{\lim }\sum _{i=0}^{n-1}|f(t_i)|(x_{i+1}-x_i)\le \underset{c_{𝒫}\to 0}{\lim }\sum _{i=0}^{n-1}f(t_i)(x_{i+1}-x_i)\le \underset{c_{𝒫}\to 0}{\lim }\sum _{i=0}^{n-1}|f(t_i)|(x_{i+1}-x_i);$

$-\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx.$

Quest'ultima disuguaglianza può essere espressa in termini di valore assoluto come

$|\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx|\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx,$

la quale è proprio la proprietà del valore assoluto degli integrali.