Principio del min-max

Il principio del min-max è uno dei principali strumenti del calcolo delle variazioni per la ricerca di punti critici. sono molti i teoremi ad esso intimamente legati come ad esempio il teorema del passo montano.

Teorema

Sia $E$ uno spazio di Banach e sia $J:E\to ℝ$ un funzionale di classe $C^1$ che soddisfa la condizione di Palais-Smale (formulazione forte). Sia $𝒜$ una collezione non vuota di sottoinsiemi non vuoti di $E$, con le seguenti proprietà: per ogni $c\in ℝ$ e per $ϵ>0$, sufficientemente piccolo, il flusso associato $\eta (t,u)$ dato dal lemma della deformazione è tale che per ogni $A\in 𝒜$ si ha che $\eta (1,A)\in 𝒜$.

Posto $c^{*}=\underset{A\in 𝒜}{\inf }\underset{v\in A}{\sup }J(v)$, se $c^{*}\in ℝ$ allora $c^{*}$ è un valore critico di $J$.

Dimostrazione

Supponiamo per assurdo che $c^{*}$ non è un valore critico. Si scelga $A\in 𝒜$ tale che $\underset{v\in A}{\sup }J(v)<c^{*}+ϵ$ per $ϵ>0$ sufficientemente piccolo. Allora, $A\subset \{J^{-1}((-\mathrm{\infty },c^{*}+ϵ])\}$, quindi $\eta (1,A)\subset \{J^{-1}((-\mathrm{\infty },c^{*}-ϵ])\}$ e questo contraddice la definizione di $c^{*}$ in quanto $\eta (1,A)\in 𝒜$.

Bibliografia

• Kesavan, Srinivasan. Nonlinear functional analysis: a first course. Springer, 2004.

Voci correlate

• Calcolo delle variazioni