Condizione di Palais-Smale

In matematica, la condizione di Palais-Smale o condizione di compattezza di Palais-Smale è un'ipotesi utilizzata in molti teoremi di calcolo delle variazioni, utile per garantire l'esistenza di punti critici di certi funzionali. Prende il nome da Richard Palais e Stephen Smale.

Formulazione forte

Un funzionale continuo Fréchet differenziabile $F\in C^1(H,ℝ)$ da uno spazio di Hilbert $H$ ai reali soddisfa la condizione di Palais-Smale se ogni successione $\{u_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}\subset H$ tale che $\{F[u_k]{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ è limitato e $F^{\prime }[u_k]\to 0$ in $H^{\prime }$ (spazio duale di $H$) ammette una sottosuccessione convergente.

Formulazione debole

Sia $X$ uno spazio di Banach e sia $\mathrm{\Phi }:X\to ℝ$ un funzionale Gâteaux differenziabile. Allora $\mathrm{\Phi }$ soddisfa la condizione debole di Palais-Smale se per ogni successione $\{x_n\}\subset X$ tale che:

• $\sup |\mathrm{\Phi }(x_n)|<\mathrm{\infty }$
• ${\mathrm{\Phi }}^{\prime }(x_n)\to 0$ in $X^{*}$
• $\mathrm{\Phi }(x_n)\ne 0$ per tutti gli $n\in \mathbb{N}$

esiste un punto critico $\bar{x}\in X$ di $\mathrm{\Phi }$ tale che i limiti superiore ed inferiore di $\mathrm{\Phi }(x_n)$ soddisfano:

$\mathrm{lim\; inf}\mathrm{\Phi }(x_n)\le \mathrm{\Phi }(\bar{x})\le \mathrm{lim\; sup}\mathrm{\Phi }(x_n)$

Bibliografia

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Voci correlate

• Derivata di Fréchet
• Punto critico (matematica)