Teorema del passo montano

Il teorema del passo montano è un importante risultato in calcolo delle variazioni che dimostra, sotto certe ipotesi, l'esistenza di punti di sella per i funzionali. Tale teorema è spesso usato per dimostrare l'esistenza di soluzioni di equazioni differenziali o per dimostrare la non unicità di tali soluzioni.

Teorema

Sia $E$ uno spazio di Banach e sia $J:E\to ℝ$ un funzionale di classe $C^1$ che soddisfa la condizione di Palais-Smale (formulazione forte). Siano $u_0$ e $u_1$ in $E$, $c_0\in ℝ$ e $R>0$ tale che

1. $\Vert u_0-u_1\Vert >R$;
2. per ogni $v\in E$ tale che $\Vert u_0-v\Vert =R,$ $\max \{J(u_0),J(u_1)\}<c_0\le J(v)$.

Allora, $J$ ha un valore critico $c\ge c_o$, definito da $c=\underset{\gamma \in 𝒫}{\inf }\underset{t\in [0,1]}{\max }J(\gamma (t)),$ dove $𝒫$ è l'insieme di tutte le curve continue , ovvero $𝒫=\{\gamma :[0,1]\to E|\gamma (0)=u_0\mathit{\text{e}}\gamma (1)=u_1\}$.

Dimostrazione

Siccome ogni curva $\gamma :[0,1]\to E$ tale che $\gamma (0)=u_0$ e $\gamma (1)=u_1$, per l'ipotesi 1, deve attraversare la sfera $\{v\in E|\Vert v-u_0\Vert =R\}$, si ha che $c\ge c_0$. Assumiamo per assurdo che $c$ non sia un valore critico. Allora, possiamo trovare ${\epsilon }_0>0$ e un flusso $\eta$ come quello nel lemma di deformazione tale che per ogni $0<\epsilon <{\epsilon }_0$ si ha $\eta (1,J^{-1}((-\mathrm{\infty },c+\epsilon ]))\subset \{J^{-1}((-\mathrm{\infty },c-\epsilon ])\}$. Preso ${\epsilon }_0$ tale che $\max \{J(u_0),J(u_1)\}<c-{\epsilon }_0$ e posto $\zeta (t)=\eta (1,\gamma (t))$, allora $\underset{t\in [0,1]}{\max }J(\zeta (t))\le c-\epsilon$.

Allora, $\zeta (0)=\eta (1,u_0)=u_0$ e $\zeta (1)=\eta (1,u_1)=u_1$ (vedi proprietà 3 del lemma della deformazione). Per quanto detto $\zeta \in 𝒫$ ma il fatto che $\underset{t\in [0,1]}{\max }J(\zeta (t))\le c-\epsilon$ contraddice la definizione di $c$.

Visualizzazione

Il teorema può essere visualizzato con la metafora di un passo di montagna (da cui il nome al teorema). Partendo da un punto $u_0$ circondato da monti (punti che hanno altezza maggiore del punto in cui ci si trova) e camminando per raggiungere un punto $u_1$ fuori dalla catena montuosa, dovendo prima salire e poi scendere, si incontrerà necessariamente un punto critico. In base al teorema, il punto critico trovato è sempre un punto di sella. Questo rende il teorema piuttosto singolare, dato che la maggior parte dei teoremi di esistenza di punti critici riguardano punti di minimo e/o massimo.

Bibliografia

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Voci correlate

• Calcolo delle variazioni