Principio del massimo di Hopf

In matematica, il principio del massimo di Hopf è un principio del massimo utilizzato nello studio di equazioni alle derivate parziali ellittiche.

Enunciato

Sia $u=u(𝐱)$, con $𝐱=(x_1,\dots ,x_n)\in {ℝ}^n$, una funzione di classe $C^2$ che soddisfa l'equazione differenziale alle derivate parziali:

$Lu=\sum _{ij}{a}_{ij}(x)\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_i\partial x_j}+\sum _i{b}_i(x)\frac{\partial u}{\partial x_i}\ge 0$

in un aperto connesso di $\mathrm{\Omega }$, dove la matrice simmetrica dei coefficienti $a_{ij}(x)$ è localmente definita positiva in $\mathrm{\Omega }$ e sia le funzioni $a_{ij}(x)$ che le funzioni $b_i(x)$ sono localmente limitate. Se $u$ ha un massimo $M$ in $\mathrm{\Omega }$, allora è costantemente uguale a $M$ in $\mathrm{\Omega }$.

Funzioni armoniche

Template:Vedi anche Data una funzione armonica $f$ definita sulla chiusura di una palla $B_r(0)\subset {ℝ}^n$ centrata nell'origine e di raggio $r$ ed un punto $x_0$ sulla frontiera $\partial B_r(0)$ di $B_r(0)$, se $x_0$ è un massimo assoluto per $f$, ovvero:

$f(x_0)>f(y)\mathrm{\forall }y\ne x_0$

allora:

$\frac{\partial f}{\partial \overrightarrow{n}}(x_0)>\frac{k}{r}(f(x_0)-f(0))$

per qualche costante $k>0$, con $\overrightarrow{n}$ un versore che da $x_0$ entra perpendicolarmente in $B_r$.

Voci correlate

• Equazione differenziale alle derivate parziali ellittica
• Funzione armonica
• Lemma di Hopf
• Principio del massimo

Collegamenti esterni

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