Polinomio trigonometrico

In matematica, un polinomio trigonometrico è una combinazione lineare finita di funzioni $\sin (nx)$ e $\cos (nx)$ per alcuni valori di $n$ interi non negativi. Una serie di Fourier troncata è un polinomio trigonometrico.

I polinomi trigonometrici sono usati, per esempio, nell'interpolazione trigonometrica usata per interpolare funzioni periodiche e nella trasformata di Fourier discreta.

Il termine polinomio trigonometrico deriva dall'analogia dell'uso delle funzioni $\sin (nx)$ e $\cos (nx)$ a una base di monomi per i polinomi.

Definizione formale

Una funzione $T$ della forma

$T(x)=a_0+\sum _{n=1}^N{a}_n\cos (nx)+i\sum _{n=1}^N{b}_n\sin (nx)(x\in ℝ),$

con $a_n,b_n\in ℂ$ per $n=0,\dots ,N$ e almeno uno tra $a_N$ e $b_N$ diverso da zero, è detta polinomio trigonometrico complesso di grado $N$. Usando la formula di Eulero il polinomio può essere riscritto come

$T(x)=\sum _{n=-N}^N{c}_n{e}^{inx}(x\in ℝ).$

Analogamente, se $a_n,b_n\in ℝ$ per $n=0,\dots ,N$ e almeno uno tra $a_N$ e $b_N$ diverso da zero, la funzione

$t(x)=a_0+\sum _{n=1}^N{a}_n\cos (nx)+\sum _{n=1}^N{b}_n\sin (nx)(x\in ℝ),$

è detta polinomio trigonometrico reale di grado $N$.

Proprietà

• Un polinomio trigonometrico di grado $N$ può essere considerato come una funzione periodica sulla retta reale con periodo un divisore di $2\pi$ o come una funzione (non periodica) sul cerchio unitario.

• Un polinomio trigonometrico non identicamente nullo di grado $N$ ha al massimo $2N$ radici in ogni intervallo $[a,a+2\pi )$ per ogni $a$ reale.

• L'insieme dei polinomi trigonometrici è denso nello spazio delle funzioni continue sul cerchio unitario con la norma uniforme. Questo è un caso speciale del teorema di Stone-Weierstrass. Più precisamente: per ogni funzione continua $f$ e per ogni $\epsilon >0$ esiste un polinomio trigonometrico $T$ tale che $|f(x)-T(x)|<\epsilon$ per ogni $x$.

• Il teorema di Fejér afferma che la media aritmetica delle somme parziali della serie di Fourier di una funzione $f$ converge uniformemente a $f$.

Bibliografia

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Voci correlate

• Funzioni trigonometriche
• Serie di Fourier
• Trasformata discreta di Fourier