Operatore di Hilbert-Schmidt

In matematica, un operatore di Hilbert-Schmidt, il cui nome è dovuto a David Hilbert e Erhard Schmidt, è un operatore limitato su uno spazio di Hilbert per il quale una data norma, detta norma di Hilbert–Schmidt, è finita.

Definizione

Sia $(H,(\cdot ,\cdot ))$ uno spazio di Hilbert complesso, con $(\cdot ,\cdot )$ antilineare nella prima variabile e lineare nella seconda. Un operatore limitato $A\in B(H)$ è un operatore di Hilbert-Schmidt se è finita la traccia del modulo quadro, ovvero se

$\mathrm{T}\mathrm{r}|A{|}^2<\mathrm{\infty }$

In modo equivalente, poiché $|A{|}^2=A^{*}A$, si può definire la norma di Hilbert–Schmidt come la radice quadrata di

$\Vert A{\Vert }_2^2=\mathrm{T}\mathrm{r}|A{|}^2=\sum _{i\in I}\Vert A{e}_i{\Vert }^2$

e dire che $A$ è un operatore di Hilbert-Schmidt se tale norma è finita. L'insieme $\{e_i{\}}_{i\in I}$ è una qualunque base ortonormale di $H$, mentre $\Vert \cdot \Vert$ è la norma di $H$. Inoltre, si verifica che

$\Vert A{\Vert }_2^2=\sum _{i,j}|A_{i,j}{|}^2$

dove

$A_{i,j}=(e_i,A{e}_j)$

La norma di Hilbert-Schmidt è un caso particolare della norma di Schatten p-esima

$\Vert A{\Vert }_p^p=\mathrm{T}\mathrm{r}\mathrm{|}\mathrm{A}{\mathrm{|}}^{\mathrm{p}}$

In uno spazio euclideo di dimensione finita $\Vert {\Vert }_2$ è anche detta norma di Frobenius.

Il prodotto interno tra due operatori di Hilbert–Schmidt $A$ e $B$ è definito nel seguente modo

$⟨A,B{⟩}_{\mathrm{=}}\mathrm{Tr}(A^{*}B)=\sum _{i\in I}(A{e}_i,B{e}_i)$

Tale forma hermitiana induce la norma di Hilbert-Schmidt sopra descritta, e rende la classe degli operatori di Hilbert-Schmidt uno spazio di Hilbert.

Proprietà

• Gli operatori di Hilbert-Schmidt formano uno *-ideale nell'algebra di Banach degli operatori limitati su $H$. Essi costituiscono inoltre uno spazio di Hilbert che si dimostra essere isomorfo e isometrico al prodotto tensoriale $H^{*}\otimes H$, dove $H^{*}$ denota lo spazio duale di $H$.

• Gli operatori di classe traccia sono operatori di Hilbert-Schmidt.

• Un operatore di Hilbert-Schmidt è un operatore compatto. Viceversa, un operatore compatto è di classe traccia se e solo se

$\sum _{i\in I}|{\lambda }_i{|}^2<\mathrm{\infty }$

dove i numeri $\{{\lambda }_i\}$ sono i valori singolari dell'operatore.

• Gli operatori di rango finito sono densi nello spazio degli operatori di classe traccia rispetto alla norma $\Vert A{\Vert }_{HS}$.

• Due operatori $A$ e $B$ sono di Hilbert–Schmidt se e solo se $C=AB$ è di classe traccia.

• Un operatore $A$ è di Hilbert-Schmidt se e solo se $\{\Vert A{e}_i\Vert \}\in l^2$ per una qualche base ortonormale $\{e_i\}$ di $H$.
• Sia $(X,\mu )$ uno spazio di misura e sia $H=L^2(X,d\mu )$ lo spazio delle funzioni quadrato sommabili su $X$. Una condizione sufficiente affinché un operatore limitato $A$ definito su $H$ sia di Hilbert-Schmidt è che esista una funzione

$K\in L^2(X\times X,d\mu \otimes d\mu )$

tale che

$(Af)(x)=\underset{X}{\int }K(x,y)f(y)d\mu (y)$

e si ha inoltre

$\Vert A{\Vert }_2^2=\underset{X}{\int }|K(x,y){|}^{2}d\mu (x)d\mu (y)$

Bibliografia

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Voci correlate

• Operatore (matematica)
• Traccia (matrice)
• Operatore limitato

Collegamenti esterni

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