Omologia singolare

In topologia l'omologia singolare è una costruzione che permette di associare ad uno spazio topologico un oggetto algebrico detto omologia.

Esistono altre costruzioni che producono essenzialmente la stessa omologia, ad esempio l'omologia simpliciale e l'omologia cellulare. L'omologia singolare è la costruzione che funziona nella più ampia generalità: per la sua costruzione non è necessario che lo spazio topologico sia un complesso simpliciale o un complesso di celle.

Definizione

Sia $X$ uno spazio topologico. Come ogni omologia, l'omologia singolare è definita a partire da un complesso di catene

$\cdots \stackrel{{\partial }_{n+1}}{⟶}{C}_n\stackrel{{\partial }_n}{⟶}{C}_{n-1}\stackrel{{\partial }_{n-1}}{⟶}\cdots \stackrel{{\partial }_2}{⟶}{C}_1\stackrel{{\partial }_1}{⟶}{C}_0\stackrel{{\partial }_0}{⟶}0.$

Il complesso di catene qui è costruito a partire dalla nozione di simplesso singolare.

Simplesso standard

Il simplesso standard di dimensione 2 è un triangolo nello spazio ${ℝ}^3$. I suoi vertici sono i punti che definiscono la base canonica di ${ℝ}^3$.

Il simplesso standard ${\mathrm{\Delta }}_n$ è l'inviluppo convesso in ${ℝ}^{n+1}$ dei punti

$e_0,\dots ,e_n$

che formano la base canonica di ${ℝ}^{n+1}$. Per $n=1,2,3$ il simplesso standard è rispettivamente un segmento, un triangolo, un tetraedro. I punti $e_0,e_1,\dots ,e_n$ sono i vertici del simplesso. Il simplesso ${\mathrm{\Delta }}_n$ ha dimensione $n$.

Una faccia di dimensione $k$ di ${\mathrm{\Delta }}_n$ è l'inviluppo convesso di $k+1$ vertici distinti

$e_{i_0},\dots ,e_{i_k}.$

Tale faccia è canonicamente identificata con il simplesso standard ${\mathrm{\Delta }}_k$: il fatto che questa identificazione sia canonica è un punto essenziale della teoria, che dipende dal fatto che i vertici del simplesso standard sono ordinati. Se $i_0<\dots <i_k$, l'identificazione $F$ è tale che

$F(e_{i_j})=e_j$

e si estende per combinazione convessa a tutta la faccia.

Se la dimensione non è specificata, per faccia di ${\mathrm{\Delta }}_n$ si intende una faccia di dimensione $n-1$: queste giocano un ruolo importante nella costruzione dell'omologia singolare. Il simplesso ${\mathrm{\Delta }}_n$ ha quindi $n+1$ facce $f_0,\dots ,f_n$ opposte ai vertici $e_0,\dots ,e_n$.

Simplesso singolare

Sia $X$ uno spazio topologico Un simplesso singolare è una mappa continua

$\sigma :{\mathrm{\Delta }}_n\to X$

dal simplesso standard in $X$. Anche qui $n$ è la dimensione del simplesso singolare. Il bordo $i$-esimo ${\partial }_i\sigma$ del simplesso singolare $\sigma$ è il simplesso singolare di dimensione $n-1$ seguente:

${\partial }_i\sigma :{\mathrm{\Delta }}_{n-1}\to X$

definito restringendo $\sigma$ alla $i$-esima faccia di ${\mathrm{\Delta }}_n$ (identificata canonicamente con ${\mathrm{\Delta }}_{n-1}$).

Complesso di catene

Una catena è una combinazione lineare formale di simplessi singolari (tutti della stessa dimensione $n$), a coefficienti interi

$a_1{\sigma }_1+\dots +a_h{\sigma }_h.$

Il numero $h$ di elementi è variabile (purché finito) e i coefficienti $a_i$ sono numeri interi. Una catena non è una mappa: può essere interpretata solo astrattamente, come combinazione lineare formale di oggetti. Le catene possono essere sommate in modo naturale e formano un gruppo abeliano, indicato con $C_n$. In altre parole, $C_n$ è il gruppo abeliano libero generato dall'insieme di tutti i simplessi singolari. Questo insieme è in generale molto grande (può avere cardinalità più che numerabile anche per spazi $X$ molto semplici).

Per definire un complesso di catene è infine necessario introdurre una mappa di bordo

$\partial :C_n\to C_{n-1}.$

per ogni $n>0$. La mappa è definita su ogni simplesso singolare $\sigma$ di dimensione $n$ nel modo seguente:

$\partial \sigma =\sum _{i=0}^n(-1{)}^i{\partial }_i\sigma .$

La mappa $\partial$ è quindi estesa per linearità a tutto $C_n$.

Omologia

La costruzione descritta produce finalmente un complesso di catene

$\cdots \stackrel{{\partial }_{n+1}}{⟶}{C}_n\stackrel{{\partial }_n}{⟶}{C}_{n-1}\stackrel{{\partial }_{n-1}}{⟶}\cdots \stackrel{{\partial }_2}{⟶}{C}_1\stackrel{{\partial }_1}{⟶}{C}_0\stackrel{{\partial }_0}{⟶}0.$

L'alternanza dei segni nella definizione di $\partial$ ha un importante effetto: la composizione di due bordi successivi è sempre la mappa banale, cioè quella che manda ogni simplesso nello zero (lo zero in $C_n$ è la combinazione lineare vuota). Infatti facendo due volte il bordo di un $n$-simplesso singolare si ottiene una catena in cui ogni $(n-2)$-sottosimplesso singolare compare due volte, ma con segni opposti. Vale quindi la proprietà

${\partial }_n\circ {\partial }_{n+1}=0.$

A questo punto l'omologia singolare è definita a partire da questo complesso con un procedimento standard, usato in tutte le teorie omologiche. Si definisce l'$n$-esimo gruppo di omologia singolare $H_n(X)$ come il gruppo quoziente

$H_n(X)=\ker ({\partial }_n)/\mathrm{i}\mathrm{m}({\partial }_{n+1}).$

Bibliografia

• Template:En Allen Hatcher, Algebraic topology. Cambridge University Press, ISBN 0-521-79160-X and ISBN 0-521-79540-0
• Template:En J.P. May, A Concise Course in Algebraic Topology, Chicago University Press ISBN 0-226-51183-9
• Template:En Joseph J. Rotman, An Introduction to Algebraic Topology, Springer-Verlag, ISBN 0-387-96678-1