Complesso di catene

In matematica un complesso di catene è un oggetto algebrico usato soprattutto in topologia algebrica. Consiste in una successione di gruppi abeliani e di funzioni fra questi che soddisfa alcune proprietà, utili a studiare e modellizzare gli spazi topologici.

Definizione

Un complesso di catene è una successione di gruppi abeliani $A_i$ indicizzati da numeri interi $i$ e di omomorfismi

${\partial }_i:A_i\to A_{i-1}$

definiti anch'essi per ogni intero $i$, tali che la composizione di due omomorfismi successivi abbia come risultato sempre l'omomorfismo banale. In altre parole:

${\partial }_{i-1}\circ {\partial }_i=0$

per ogni intero $i$.

Un complesso di catene può essere descritto globalmente nel modo seguente:

$\cdots \to A_{n+1}\stackrel{{\partial }_{n+1}}{\to }{A}_n\stackrel{{\partial }_n}{\to }{A}_{n-1}\stackrel{{\partial }_{n-1}}{\to }{A}_{n-2}\to \cdots \stackrel{{\partial }_2}{\to }{A}_1\stackrel{{\partial }_1}{\to }{A}_0\stackrel{{\partial }_0}{\to }{A}_{-1}\stackrel{{\partial }_{-1}}{\to }{A}_{-2}\stackrel{{\partial }_{-2}}{\to }\cdots$

Un complesso di cocatene è una successione di gruppi abeliani $A^i$ e di omomorfismi

${\partial }^i:A^i\to A^{i+1}$

tali che la composizione di due omomorfismi successivi abbia come risultato sempre l'omomorfismo banale:

${\partial }^{i+1}\circ {\partial }^i=0$

Un complesso di cocatene può essere descritto globalmente nel modo seguente:

$\cdots \to A^{-2}\stackrel{{\partial }^{-2}}{\to }{A}^{-1}\stackrel{{\partial }^{-1}}{\to }{A}^0\stackrel{{\partial }^0}{\to }{A}^1\stackrel{{\partial }^1}{\to }{A}^2\to \cdots \to A^{n-1}\stackrel{{\partial }^{n-1}}{\to }{A}^n\stackrel{{\partial }^n}{\to }{A}^{n+1}\to \cdots .$

Generalmente gli indici interi sono posizionati in basso (come pedici) per i complessi di catene, ed in alto (come apici) per i complessi di cocatene.

Omologia

In un complesso di catene, vale per ogni $i$ la relazione

$\mathrm{im}{\partial }_i\subset \ker {\partial }_{i-1}.$

L'omologia del complesso è quindi definita come il gruppo quoziente

$H_i=\ker {\partial }_{i-1}/\mathrm{im}{\partial }_i$

che è definito per ogni intero $i$. Analogamente si definisce una coomologia $H^i$ a partire da un complesso di cocatene.

Il complesso di (co-)catene è detto aciclico se l'omologia è banale per ogni $i$. Un complesso di (co-)catene aciclico è una successione esatta.

Biografia

• Template:EnTemplate:Cita pubblicazione

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni