Numero di Dottie

Il numero di Dottie è l'unico punto fisso reale della funzione coseno

In matematica, il numero di Dottie è una costante che è l'unica radice reale dell'equazione

$\cos x=x,$

dove l'argomento del coseno è in radianti. L'espansione decimale del numero di Dottie è $0,739085\dots$.

Essendo $\cos (x)-x$ strettamente decrescente, attraversa lo zero solo in un punto. Ciò implica che l'equazione $\cos (x)=x$ ha una sola soluzione reale. È l'unico punto fisso reale della funzione coseno ed è un esempio non banale di punto fisso di attrazione universale. È anche un numero trascendente a causa del teorema di Lindemann-Weierstrass. Il caso generalizzato $\cos z=z$ per una variabile complessa $z$ ha infinite radici, ma a differenza del numero di Dottie, non attraggono punti fissi.

Usando la serie di Taylor dell'inverso di $f(x)=\cos x-x$ in $\frac{\pi }{2}$ (o equivalentemente, il teorema di inversione di Lagrange), il numero di Dottie può essere espresso come la serie infinita $\frac{\pi }{2}+\sum _{n\text{dispari}}{a}_n{\pi }^n$ dove ciascun $a_n$ è un numero razionale definito per $n$ dispari come

$a_n=\frac{1}{n!2^n}\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\lim }\frac{{\partial }^{n-1}}{\partial x^{n-1}}{(\frac{\cos x}{x-\pi /2}-1)}^{-n},$

i cui primi valori sono:

$a_1=-\frac{1}{4};$

$a_3=-\frac{1}{768};$

$a_5=-\frac{1}{61440};$

$a_7=-\frac{43}{165150720}.$

Samuel Kaplan riferisce che il nome deriva da una professoressa di francese che aveva notato il numero ottenuto premendo ripetutamente il pulsante del coseno sulla sua calcolatrice.

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