Somma di potenze di interi successivi

Jakob Bernoulli, Summae Potestatum, 1713

Un problema enumerativo di grande interesse riguarda la valutazione delle somme delle potenze di interi successivi

$\sum _{k=1}^n{k}^m=1^m+2^m+\cdots +n^m,$

dove $m$ e $n$ denotano numeri interi positivi.

Generalità

Si osserva che la precedente espressione definisce una successione a due indici interi a valori interi positivi, cioè una funzione dell'insieme

$\{{\mathbb{Z}}_{\mathbb{+}}\times {\mathbb{Z}}_{\mathbb{+}}\mapsto {\mathbb{Z}}_{\mathbb{+}}\}.$

Si dimostra facilmente in vari modi (vedi Numero triangolare) che

$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}.$

Risulta abbastanza agevole anche trovare che

$\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum _{k=1}^n{k}^3=\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}.$

Queste due formule si dimostrano senza difficoltà per induzione; la seconda è il teorema di Nicomaco.

Si osserva che la somma delle potenze $m$-esime dei primi $n$ interi positivi è data da un polinomio di grado $m+1$ nella $n$ a coefficienti razionali. In effetti Carl Jacobi nel 1834 ha dimostrato che questa proprietà vale per tutti gli interi positivi.

Si osserva anche che, soprattutto se $n$ è elevato, la valutazione delle somme effettuata mediante il calcolo di questi polinomi è molto più agevole della valutazione effettuata servendosi direttamente della definizione.

È quindi utile conoscere le espressioni dei polinomi relativi ai successivi valori $m$ degli esponenti.

Le espressioni per i successivi valori di $m$ furono individuate da Johann Faulhaber e pubblicate nel 1631 e una espressione generale, conosciuta come formula di Faulhaber è stata dimostrata da Jacobi.

$\sum _{k=1}^n{k}^m=\frac{1}{(m+1)}\sum _{k=0}^m(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+1}{k})B_k{n}^{m+1-k},$

dove $B_n$ indica l'$n$-esimo numero di Bernoulli.

La tavola delle espressioni polinomiali prosegue per $m=4,5,\dots ,10$ nel seguente modo:

$\sum _{k=1}^n{k}^4=\frac{1}{30}(6n^5+15n^4+10n^3-n),$

$\sum _{k=1}^n{k}^5=\frac{1}{12}(2n^6+6n^5+5n^4-n^2),$

$\sum _{k=1}^n{k}^6=\frac{1}{42}(6n^7+21n^6+21n^5-7n^3+n),$

$\sum _{k=1}^n{k}^7=\frac{1}{24}(3n^8+12n^7+14n^6-7n^4+2n^2),$

$\sum _{k=1}^n{k}^8=\frac{1}{90}(10n^9+45n^8+60n^7-42n^5+20n^3-3n),$

$\sum _{k=1}^n{k}^9=\frac{1}{20}(2n^{10}+10n^9+15n^8-14n^6+10n^4-3n^2),$

$\sum _{k=1}^n{k}^{10}=\frac{1}{66}(6n^{11}+33n^{10}+55n^9-66n^7+66n^5-33n^3+5n).$

I polinomi che si ottengono hanno come fattori $n(n+1)(n+1/2)$ per $m\ge 2$ pari, o $n^2(n+1{)}^2$ per $m\ge 3$ dispari; inoltre sono simmetrici o antisimmetrici rispetto a $n=-1/2$, nel senso che se si sostituisce $-n-1$ a $n$, si ottiene lo stesso polinomio se $m$ è dispari o il polinomio opposto se $m$ è pari.

Connessione con il triangolo di Tartaglia

Se si riportano, ordinati per grado crescente, su una matrice quadrata, i coefficienti dei polinomi esprimenti la somma di potenze, visti precedentemente, si ottiene la seguente matrice triangolare di ordine 11:

$M=\left(\begin{array}{cccccccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ \frac{1}{6}& \frac{1}{2}& \frac{1}{3}& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& \frac{1}{4}& \frac{1}{2}& \frac{1}{4}& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ -\frac{1}{30}& 0& \frac{1}{3}& \frac{1}{2}& \frac{1}{5}& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& -\frac{1}{12}& 0& \frac{5}{12}& \frac{1}{2}& \frac{1}{6}& 0& 0& 0& 0& 0\\ \frac{1}{42}& 0& -\frac{1}{6}& 0& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{7}& 0& 0& 0& 0\\ 0& \frac{1}{12}& 0& -\frac{7}{24}& 0& \frac{7}{12}& \frac{1}{2}& \frac{1}{8}& 0& 0& 0\\ -\frac{1}{30}& 0& \frac{2}{9}& 0& -\frac{7}{15}& 0& \frac{2}{3}& \frac{1}{2}& \frac{1}{9}& 0& 0\\ 0& -\frac{3}{20}& 0& \frac{1}{2}& 0& -\frac{7}{10}& 0& \frac{3}{4}& \frac{1}{2}& \frac{1}{10}& 0\\ \frac{5}{66}& 0& -\frac{1}{2}& 0& 1& 0& -1& 0& \frac{5}{6}& \frac{1}{2}& \frac{1}{11}\end{array}\right)$

Come Giorgio Pietrocola ha scoperto (o forse riscoperto) e dimostrato in generale, la sua matrice inversa è facilmente ottenibile dal triangolo di Tartaglia alternando i segni e azzerando l'ultimo valore di ogni riga:

$M^{-1}=\left(\begin{array}{ccccccccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ -1& 2& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& -3& 3& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ -1& 4& -6& 4& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& -5& 10& -10& 5& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ -1& 6& -15& 20& -15& 6& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& -7& 21& -35& 35& -21& 7& 0& 0& 0& 0\\ -1& 8& -28& 56& -70& 56& -28& 8& 0& 0& 0\\ 1& -9& 36& -84& 126& -126& 84& -36& 9& 0& 0\\ -1& 10& -45& 120& -210& 252& -210& 120& -45& 10& 0\\ 1& -11& 55& -165& 330& -462& 462& -330& 165& -55& 11\end{array}\right)$

Dunque, viceversa, invertendo questa ultima matrice facilmente ricavabile dal noto triangolo si ottiene la matrice dei coefficienti polinomiali e quindi anche, nella prima colonna, i numeri di Bernoulli.

Bibliografia

• Template:Cita web

Voci correlate

• Polinomi calcolanti somme di potenze di progressioni aritmetiche
• Numeri di Bernoulli
• Polinomi di Bernoulli
• Johann Faulhaber