Nucleo di Fejér

In matematica, il nucleo di Fejér è un'approssimazione dell'identità sul toro e viene applicato allo studio della serie di Fourier, come un'approssimazione all'identità dell'operatore di Fourier. Prende il nome dal matematico ungherese Lipót Fejér (1880 – 1959).

Grafico di nuclei di Fejér per differenti n.

Definizione

Il nucleo di Fejér è definito come

$F_n(x)=\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{|j|\le k}{e}^{ijx}$

Esso può anche essere espresso nel seguente modo:

$F_n(x)=\frac{1}{n}{\left(\frac{\sin \frac{nx}{2}}{\sin \frac{x}{2}}\right)}^2=\frac{1}{n}\left(\frac{1-\cos (nx)}{1-\cos x}\right)$,

dove tale espressione è derivata dalla definizione classica, o nella forma

$F_n(x)=\sum _{|k|\le n-1}(1-\frac{|k|}{n})e^{ikx}.$

Proprietà

Essendo un'approssimazione dell'identità sul toro, esso soddisfa le seguenti proprietà:

• $||F_N|{|}_1\le M$ con $M<\mathrm{\infty }$
• $\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{F}_n(x)dx=1$
• $\underset{\delta \le |x|\le \pi }{\int }{F}_n(x)dx⟶0\text{per}n⟶+\mathrm{\infty }$

Convoluzione

Per $f\ge 0$ di periodo $2\pi$ si ha

$0\le (f*F_n)(x)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(y)F_n(x-y)dy.$

Per la disuguaglianza di Young,

$\Vert F_n*f{\Vert }_{L^p([-\pi ,\pi ])}\le \Vert f{\Vert }_{L^p([-\pi ,\pi ])}$ per ogni $1\le p\le \mathrm{\infty }$

per $f\in L^p$

Inoltre, se $f\in L^1([-\pi ,\pi ])$ si ha

$f*F_n\to f$ quasi ovunque

Poiché $[-\pi ,\pi ]$ ha misura finita, $L^1([-\pi ,\pi ])\supset \cdots \supset L^p([-\pi ,\pi ])\supset \cdots \supset L^{\mathrm{\infty }}([-\pi ,\pi ])$ il risultato sopra vale anche per gli altri spazi $L^p$, $p\ge 1$.

Bibliografia

• Hoffman, Kenneth (1988). Banach Spaces of Analytic Functions. Dover. p. 17. ISBN 0-486-45874-1. DOI https://doi.org/10.1007/BFb0069197.
• Konigsberger, Konrad. Analysis 1 (in German) (6th ed.). Springer. p. 322.

Voci correlate

• Nucleo di Dirichlet
• Somma di Cesaro
• Serie di Fourier
• Nucleo di sommabilità