Nucleo di sommabilità

Template:O In matematica, un nucleo di sommabilità è una famiglia o sequenza di funzioni integrabili periodiche che soddisfano un certo insieme di proprietà, elencate di seguito. Alcuni nuclei, come il nucleo di Fejér, sono particolarmente utili nell'analisi di Fourier. I kernel di sommabilità sono legati all'approssimazione dell'identità.

Definizione

Sia $𝕋:=ℝ/2\pi \mathbb{Z}$ il toro. Un nucleo di sommabilità è una sequenza $(k_n)$ in $L^1(𝕋)$ che soddisfa

1. $\frac{1}{2\pi }\underset{𝕋}{\int }{k}_n(t)dt=1$
2. $\Vert k_n{\Vert }_1\le M$ (uniformemente limitata)
3. $\underset{\delta \le |t|\le \pi }{\int }|k_n(t)|dt\to 0$ come $n\to \mathrm{\infty }$, per ogni $\delta >0$ .

Si noti che se $k_n\ge 0$ per ogni $n$, allora $(k_n)$ è detto essere un nucleo di sommabilità positivo, quindi il secondo requisito segue automaticamente dal primo.

Esempi

• Il nucleo di Fejér è un nucleo di sommabilità.
• Il nucleo di Dirichlet non è un nucleo di sommabilità, poiché non soddisfa il secondo requisito.

Convoluzioni

Sia $(k_n)$ un nucleo di sommabilità, e denotiamo con $*$ l'operatore di convoluzione.

• Se $f\in 𝒞(𝕋)$ (funzioni continue su $𝕋$), allora $k_n*f\to f$ in $𝒞(𝕋)$ uniformemente (cioè in norma infinito) quando $n\to \mathrm{\infty }$.
• Se $f\in L^1(𝕋)$, poi $k_n*f\to f$ in $L^1(𝕋)$, come $n\to \mathrm{\infty }$ .
• In generale, se $f\in L^p(𝕋),1\le p<\mathrm{\infty }$, allora $k_n*f\to f$ in $L^p(𝕋)$, per $n\to \mathrm{\infty }$
• Se $(k_n)$ è simmetrico radialmente decrescente e $f\in L^1(𝕋)$, allora $k_n*f\to f$ puntualmente quasi ovunque per $n\to \mathrm{\infty }$ . Questo fatto utilizza la funzione massimale di Hardy–Littlewood . Se $(k_n)$ non è simmetrico radialmente decrescente, ma la simmetrizzazione decrescente ${\tilde{k}}_n(x):=\underset{|y|\ge |x|}{\sup }{k}_n(y)$ soddisfa $\underset{n\in \mathbb{N}}{\sup }\Vert {\tilde{k}}_n{\Vert }_1<\mathrm{\infty }$, allora la convergenza quasi ovunque è ancora valida, usando un argomento simile.