Somma di Cesaro

In matematica, e più precisamente in analisi, la somma di Cesàro è una definizione alternativa di somma di una serie, che coincide con quella usuale quando la serie è convergente. Fu introdotta dal matematico Ernesto Cesaro alla fine del XIX secolo.

Definizione

Data una serie

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$

con somme parziali

$s_n=a_1+\dots +a_n,$

la somma di Cesàro è il limite (quando esiste) della media aritmetica delle somme parziali

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{s_1+\dots +s_n}{n}.$

Teorema della media di Cesaro

Il teorema delle medie di Cesaro permette di calcolare il limite della successione delle medie di una successione $a_n$, noto il limite di $a_n$. La successione delle medie di $a_n$ si definisce come:

${\sigma }_n=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{a}_k.$

Il teorema della media di Cesaro afferma che se $a_n$ ammette limite, allora

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\sigma }_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n.$

Dimostrazione

Poniamo ${\sigma }_n=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{a}_k$, $l=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n$ e sia $\epsilon >0$. Notiamo che se fosse $|a_k-l|<\epsilon \mathrm{\forall }k$ allora si avrebbe

$|{\sigma }_n-l|=|\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{a}_k-l|=|\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{a}_k-\frac{1}{n}nl|=|\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{a}_k-\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}l|=|\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n(a_k-l)|\le \frac{1}{n}\sum _{k=1}^n|a_k-l|<\frac{1}{n}n\epsilon =\epsilon .$

Tuttavia ciò non è vero sempre, ma lo sarà per $n>\tilde{n}$, per un certo $\tilde{n}=\tilde{n}(\epsilon )$. Spezziamo dunque la somma da $1$ a $\tilde{n}$ e da $\tilde{n}+1$ a $n$:

$|{\sigma }_n-l|=|\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{a}_k-l|=|\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{\tilde{n}}{a}_k+\frac{1}{n}\sum _{k=\tilde{n}+1}^n{a}_k-\frac{1}{n}((n-\tilde{n})l+\tilde{n}l\left)\right|=|\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{\tilde{n}}{a}_k+\frac{1}{n}\sum _{k=\tilde{n}+1}^n{a}_k-\frac{1}{n}\sum _{k=\tilde{n}+1}^{n}l-\frac{\tilde{n}}{n}l|.$

Riunendo le somme come in precedenza e applicando la disuguaglianza triangolare otteniamo:

$|{\sigma }_n-l|\le \frac{1}{n}\sum _{k=1}^{\tilde{n}}|a_k|+\frac{1}{n}\sum _{k=\tilde{n}+1}^n|a_k-l|+\frac{\tilde{n}}{n}|l|<\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{\tilde{n}}|a_k|+\frac{n-\tilde{n}}{n}\epsilon +\frac{\tilde{n}}{n}|l|.$

Richiamando $M={\sum }_{k=1}^{\tilde{n}}|a_k|$ e riordiando otteniamo

$|{\sigma }_n-l|<\epsilon +\frac{1}{n}(M+\tilde{n}(|l|-\epsilon )),$

dove la quantità in parentesi è indipendente da $n$, per cui il secondo addendo tende a $0$ per $n\to \mathrm{\infty }$. Per l'arbitrarietà di $\epsilon$ si ha dunque

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\tilde{n}\in \mathbb{N}:|{\sigma }_n-l|<\epsilon ,\text{ per ogni }n>\tilde{n}.$

Cioè ${\sigma }_n\to l$ se $a_n\to l.$

Proprietà

Se la serie è convergente, la somma di Cesàro coincide con la somma della serie; la somma di Cesàro infatti non dipende da alcuna somma parziale di indice finito. Questo significa formalmente che, per $n$ tendente all'infinito

$\frac{s_1+\dots +s_n}{n}\approx \frac{s_1+\dots +s_m}{n}+\frac{s_{m+1}+\dots +s_n}{n-m}\approx \frac{s_{m+1}+\dots +s_n}{n-m},$

per ogni intero $m$ finito. L'operazione svolta dunque è quella di mediare solo le somme delle serie di indice molto elevato: se la serie converge è evidente che il risultato sarà semplicemente la somma infinita della serie. La somma di Cesàro è però definita anche per alcune serie non convergenti; ad esempio, se

$a_n=(-1{)}^n,$ (serie di Grandi)

la serie non ammette limite, ma per convenzione si può considerare come valore limite quello medio delle due sottosuccessioni estratte, per $n$ pari e per $n$ dispari, che è -0,5. La somma di Cesàro $n$-esima in questo caso è data da

$\{\begin{array}{cc}-\frac{1}{n}& \text{se }n\text{ dispari,}\\ \\ 0& \text{se }n\text{ pari,}\end{array}$

il cui limite è 0. Questo esempio dimostra che il teorema di Cesàro non è invertibile.

Questo teorema può essere ricavato dal teorema di Stolz-Cesàro ponendo $a_n=\sum _{k=1}^n{a}_k$ e $b_n=n$.

Bibliografia

• Template:En Bruce Watson, Borel's Methods of Summability: Theory and Applications. Oxford University Press, New York, 1994. ISBN 0-19-853585-6.

Voci correlate

• Somma di Hölder