Misura logaritmicamente concava

In matematica, una misura di Borel μ in uno spazio euclideo n-dimensionale Rⁿ è detta logaritmicamente concava se, dati due qualunque sottoinsiemi compatti A e B di Rⁿ e dato λ tale che $0<\lambda <1$, si ha

$\mu (\lambda A+(1-\lambda )B)\ge \mu (A{)}^{\lambda }\mu (B{)}^{1-\lambda },$

in cui λ A + (1 − λ) B denota la somma di Minkowski di λ A e (1 − λ) B.

Esempi

La disuguaglianza di Brunn-Minkowski asserisce che la misura di Lebesgue è logaritmicamente concava. La restrizione della misura di Lebesgue ad ogni insieme convesso è anche logaritmicamente concava.

Da un teorema di Borell, si ha che una misura è logaritmicamente concava se e solo se essa ha una densità rispetto alla misura di Lebesgue su un iperpiano affine e questa densità è una funzione logaritmicamente concava. Dunque, ogni misura gaussiana è logaritmicamente concava.

La disuguaglianza di Prékopa-Leindler mostra che la convoluzione di misure logaritmicamente concave è logaritmicamente concava.

Voci correlate

• Funzione logaritmicamente concava