Matrice gramiana di controllabilità

In teoria del controllo, la matrice gramiana di controllabilità è una matrice di Gram usata per determinare se un sistema dinamico è controllabile. Per un sistema lineare invariante rispetto al tempo

$\dot{x}=Ax+Bu$

la gramiana di controllabilità è definita come

$W_c(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{e}^{-A\tau }B{B}^T{e}^{-A^T\tau }d\tau =\underset{0}{\overset{t}{\int }}{e}^{A(t-\tau )}B{B}^T{e}^{A^T(t-\tau )}d\tau$

La coppia $(A,B)$ è controllabile se e solo se la matrice $W_c$ è non singolare, cioè $W_c$ ha rango pieno per ogni $t>0$. È inoltre possibile provare che se la matrice $A$ è di Hurwitz, la soluzione dell'equazione di Sylvester, se esiste, è proprio $W_c$.

La definizione può essere estesa ai sistemi tempo varianti. Il sistema

$\dot{x}(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)$,

è controllabile in un intervallo $[t_0,t_1]$ se e solo se le righe della matrice $\mathrm{\Phi }(t_0,\tau )B(\tau )$, dove $\mathrm{\Phi }$ è la matrice di transizione di stato, sono linearmente indipendenti. La gramiana può essere usata proprio per provare questo. Si ha indipendenza lineare se e solo se la matrice gramiana di controllabilità

$W_c(t)=\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\mathrm{\Phi }(t_0,\tau )B(\tau )B^T(\tau ){\mathrm{\Phi }}^T(t_0,\tau )d\tau$

è non singolare, cioè invertibile.

Voci correlate

• Matrice gramiana di osservabilità
• Matrice di Gram
• Controllabilità