Equazione di Sylvester

L'equazione di Sylvester, spesso incontrata in teoria del controllo, è un'equazione matriciale della forma

$AX+XB=C,$

dove $A,B,X,C$ sono matrici di dimensione $n\times n$. $A,B,C$ sono note. Il problema consiste nel trovare $X$. L'equazione di Sylvester è un caso particolare dell'equazione di Lyapunov continua (quando la matrice A è hermitiana).

Esistenza e unicità della soluzione

Usando il prodotto di Kronecker e l'operatore di vettorializzazione $\mathrm{vec}$, si può riscrivere l'equazione nella forma

$(I_n\otimes A+B^T\otimes I_n)\mathrm{vec}X=\mathrm{vec}C,$

dove $I_n$ è la matrice identità di dimensione $n\times n$. In questa forma, l'equazione di Sylvester può essere vista come un sistema lineare di dimensione $n^2\times n^2$.

Se $L$ e $M$ in $A=UL{U}^{-1}$ e $B^T=VM{V}^{-1}$ sono le forme canoniche di Jordan rispettivamente di $A$ e $B^T$, e ${\lambda }_i$ e ${\mu }_j$ sono rispettivamente i loro autovalori, si può scrivere

$I_n\otimes A+B^T\otimes I_n=(V\otimes U)(I_n\otimes L+M\otimes I_n)(V\otimes U{)}^{-1}.$

Dato che $(I_n\otimes L+M\otimes I_n)$ è una matrice triangolare superiore con ${\lambda }_i+{\mu }_j$ sulla diagonale , la matrice a sinistra dell'equazione è singolare se e solo se esistono $i$ e $j$ tali che ${\lambda }_i=-{\mu }_j$.

Quindi, si è provato che l'equazione di Sylvester ha un'unica soluzione se e solo se $A$ e $-B$ non hanno autovalori in comune. È inoltre possibile provare che se la matrice $A$ è di Hurwitz, la soluzione dell'equazione di Sylvester, se esiste, è la matrice gramiana di controllabilità.

Soluzioni numeriche

Un classico algoritmo per la risoluzione numerica dell'equazione di Sylvester è l'algoritmo di Bartels-Stewart, che consiste nel trasformare le matrici $A$ e $B$ nella loro decomposizione di Schur tramite un algoritmo QR e poi risolvere il sistema triangolare ottenuto sostituendo all'indietro. Questo algoritmo, il cui costo computazionale è O$(n^3)$ operazioni aritmetiche, viene utilizzato, tra i tanti, da LAPACK e dalla funzione lyap in GNU Octave.

Bibliografia

• J. Sylvester, Sur l'equations en matrices $px=xq$, C.R. Acad. Sci. Paris, 99 (1884), pp. 67 – 71, pp. 115 – 116.
• R. H. Bartels and G. W. Stewart, Solution of the matrix equation $AX+XB=C$, Comm. ACM, 15 (1972), pp. 820 – 826.
• R. Bhatia and P. Rosenthal, How and why to solve the operator equation $AX-XB=Y$ ?, Bull. London Math. Soc., 29 (1997), pp. 1 – 21.
• S.-G. Lee and Q.-P. Vu, Simultaneous solutions of Sylvester equations and idempotent matrices separating the joint spectrum, Linear Algebra and its Applications, 435 (2011), pp. 2097 – 2109.

Voci correlate

• Equazione di Lyapunov
• Equazione algebrica di Riccati