Matrice di Hurwitz

In matematica, una matrice quadrata è chiamata matrice di Hurwitz se tutti gli autovalori hanno parte reale negativa. Per ogni autovalore $λ_{i}$ della matrice di Hurwitz $A$ l'equazione differenziale:

\dot{x} = A x

è stabile, ovvero $x (t) \to 0$ per $t \to \infty$ .

Se $G (s)$ è una (matrice di valori) di una funzione di trasferimento, $G$ è chiamata talvolta funzione di trasferimento "di Hurwitz" se i poli di tutti gli elementi della $G$ hanno parte reale negativa. È noto che non è necessario che la matrice $G (s),$ sia una matrice di Hurwitz e non è necessario che sia necessariamente quadrata. La connessione è che se la matrice $A$ è una matrice di Hurwitz, allora il sistema dinamico:

\dot{x} (t) = A x (t) + B u (t)

y (t) = C x (t) + D u (t)

è una funzione di trasferimento di Hurwitz.

Polinomi

Dato un polinomio reale:

p (z) = a_{0} z^{n} + a_{1} z^{n - 1} + \dots + a_{n - 1} z + a_{n}

la matrice di Hurwitz corrispondente al polinomio $p$ è la matrice quadrata di dimensione $n \times n$ data da:

H = (\begin{matrix} a_{1} & a_{3} & a_{5} & \dots & \dots & \dots & 0 & 0 & 0 \\ a_{0} & a_{2} & a_{4} & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & a_{1} & a_{3} & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ ⋮ & a_{0} & a_{2} & ⋱ & 0 & ⋮ & ⋮ \\ ⋮ & 0 & a_{1} & ⋱ & a_{n} & ⋮ & ⋮ \\ ⋮ & ⋮ & a_{0} & ⋱ & a_{n - 1} & 0 & ⋮ \\ ⋮ & ⋮ & 0 & a_{n - 2} & a_{n} & ⋮ \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & a_{n - 3} & a_{n - 1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & \dots & \dots & a_{n - 4} & a_{n - 2} & a_{n} \end{matrix})

Nel 1895 Adolf Hurwitz ha stabilito (criterio di Routh-Hurwitz) che un polinomio è stabile (ovvero le radici hanno parte reale strettamente negativa) se e solo se tutti i minori principali di guida della matrice di $H (p)$ sono positivi:

\begin{matrix} Δ_{1} (p) & = | \begin{matrix} a_{1} \end{matrix} | & = a_{1} > 0 \\ Δ_{2} (p) & = | \begin{matrix} a_{1} & a_{3} \\ a_{0} & a_{2} \end{matrix} | & = a_{2} a_{1} - a_{0} a_{3} > 0 \\ Δ_{3} (p) & = | \begin{matrix} a_{1} & a_{3} & a_{5} \\ a_{0} & a_{2} & a_{4} \\ 0 & a_{1} & a_{3} \end{matrix} | & = a_{3} Δ_{2} - a_{1} (a_{1} a_{4} - a_{0} a_{5}) > 0 \end{matrix}

e così via. I minori $Δ_{k} (p)$ sono detti determinanti di Hurwitz.

Bibliografia

Template:En Hassan K. Khalil (2002). Nonlinear Systems. Prentice Hall.
Template:En Siegfried H. Lehnigk, Template:Collegamento interrotto, Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik (ZAMP), May 1970
Template:En Template:Collegamento interrotto, in Mathematical Survey Lectures 1943–2004, Springer Berlin Heidelberg, 2006
Bernard A. Asner, Jr., On the Total Nonnegativity of the Hurwitz Matrix, SIAM Journal on Applied Mathematics, Vol. 18, No. 2 (Mar., 1970)
Template:En Dimitar K. Dimitrov and Juan Manuel Peña, Template:Collegamento interrotto, Journal of Approximation Theory, Volume 132, Issue 2 (February 2005)

Voci correlate

Collegamenti esterni

Template:Portale

Matrice di Hurwitz

Indice

Polinomi

Bibliografia

Voci correlate

Collegamenti esterni

Menu di navigazione

Matrice di Hurwitz

Polinomi

Bibliografia

Voci correlate

Collegamenti esterni

Menu di navigazione

Ricerca