Matrice compagna

In algebra lineare, la matrice compagna del polinomio monico di grado n:

$P(X)=c_0+c_{1}X+\dots +c_{n-1}{X}^{n-1}+X^n$

è la matrice quadrata di ordine n avente $1$ sulla prima sovradiagonale e i coefficienti di $P$, cambiati di segno, sull'ultima riga:

$C_P=\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & 1& \ddots & ⋮\\ ⋮& & \ddots & \ddots & 0\\ 0& \cdots & \cdots & 0& 1\\ -c_0& -c_1& \cdots & \cdots & -c_{n-1}\end{array}\right)$

Alcuni autori chiamano matrice compagna la matrice trasposta della precedente, ovvero la matrice con $1$ sulla prima sottodiagonale e i coefficienti di $P$, cambiati di segno, sull'ultima colonna:

$C_P^t=\left(\begin{array}{ccccc}0& \cdots & \cdots & 0& -c_0\\ 1& \ddots & & ⋮& -c_1\\ 0& 1& \ddots & ⋮& ⋮\\ ⋮& \ddots & \ddots & 0& ⋮\\ 0& \cdots & 0& 1& -c_{n-1}\end{array}\right)$

Proprietà

• La matrice compagna di $P$ ha polinomio caratteristico e polinomio minimo uguali a $P$; i suoi autovalori sono le radici di $P$.
• Per ogni radice $\alpha$ di $P$, il vettore $(1,\alpha ,{\alpha }^2,\dots ,{\alpha }^{n-1}{)}^t$ è un autovettore di $C_P$ con autovalore $\alpha$. In particolare, se tutte le radici di $P$ sono distinte allora $C_P$ è diagonalizzabile tramite una matrice di Vandermonde.
• Per ogni campo $k$ la matrice $C_P$ esprime la moltiplicazione per $X$ sull'anello $k(X)/P(X)$, espresso come spazio vettoriale su $k$ con la base $\{1,X,X^2,\dots ,X^{n-1}\}$. In particolare, se $P$ è irriducibile su $k$ e $\alpha$ è una sua radice, $C_P$ esprime la moltiplicazione per $\alpha$ sul campo $k(\alpha )$.
• Se $A$ è una matrice $n\times n$ su un campo $K$, sono equivalenti gli enunciati:
  • $A$ è simile alla matrice compagna su $k$ del proprio polinomio caratteristico;
  • il polinomio caratteristico di $A$ è uguale al suo polinomio minimo;
  • esiste un vettore $v\in K^n$ tale che $\{v,Av,A^{2}v,\dots ,A^{n-1}v\}$ è una base di $K^n$.

Non tutte le matrici quadrate sono simili ad una matrice compagna, ma tutte sono simili ad una matrice diagonale a blocchi di matrici compagne; queste ultime possono essere scelte in modo che i loro polinomi si dividano successivamente, quindi che siano univocamente determinate. Questa scrittura è la forma canonica razionale di $A$.

Bibliografia

• Template:Cita libro
• Template:En Richard E. Bellman, Richard (1987), Introduction to Matrix Analysis, SIAM, ISBN 0898713994 .

Voci correlate

• Polinomio
• Polinomio caratteristico
• Polinomio minimo

Collegamenti esterni

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