Lemma di normalizzazione di Noether

In matematica, il lemma di normalizzazione di Noether è un teorema dell'algebra commutativa che afferma che ogni $K$-algebra finitamente generata (dove $K$ è un campo) è un'estensione intera di un anello di polinomi su $K$.

Prende nome da Emmy Noether, che nel 1926 lo dimostrò sotto l'ipotesi che $K$ fosse infinito. Il caso in cui $K$ è un campo finito fu dimostrato da Oscar Zariski nel 1943.

Enunciato e dimostrazione

Sia $K$ un campo e $A$ un'algebra su $K$; sia $d$ la dimensione di $A$. Allora esistono $d$ elementi $y_1,\dots ,y_d\in A$, algebricamente indipendenti, tali che l'estensione $K[y_1,\dots ,y_d]\subseteq A$ è intera. Se inoltre $A$ è un dominio d'integrità, allora $d$ è anche il grado di trascendenza del campo dei quozienti di $A$ su $K$.

Se $A$ è un anello graduato, allora gli elementi $y_1,\dots ,y_d$ possono essere scelti omogenei.

L'idea della dimostrazione è di rappresentare $A$ come quoziente di un anello di polinomi $K[X_1,\dots ,X_n]$ per un suo ideale $I$, e di procedere per induzione su $n$. Il passo induttivo è provato scegliendo un polinomio $P(X_1,\dots ,X_n)\in I$, e cercando poi un cambiamento di variabili $Y_i=f_i(X_i)$ che renda $P$ un polinomio monico in $X_n$, in modo che l'immagine $x_n$ di $X_n$ in $A$ sia intera sulle immagini degli $Y_i$.

Se $K$ è infinito, è sempre possibile trovare un $\lambda \in K$ tale che la trasformazione $Y_i=X_i-\lambda X_n$ (per $1\le i\le n-1$) abbia le proprietà cercate; se $K$ è finito, invece, è necessario considerare la trasformazione $Y_i=X_i+X_i^{m_i}$, per degli interi $m_i$ scelti opportunamente.

Conseguenze e interpretazione geometrica

L'utilità del lemma di Noether spesso si manifesta nella possibilità di "spezzare" lo studio delle proprietà di una $K$-algebra $A$ in un'estensione puramente trascendente $K\subseteq K[y_1,\dots ,y_d]$ e un'estensione intera $K[y_1,\dots ,y_d]\subseteq A$, entrambe le quali possono essere studiate più facilmente di un'estensione arbitraria. Ad esempio, attraverso questo metodo è possibile dimostrare che se $\varphi :A⟶B$ è un omomorfismo di $K$-algebre finitamente generate e locali, allora $\varphi$ è un omomorfismo locale, ovvero $\varphi (M)B\ne B$, dove $M$ è l'ideale massimale di $A$.

Un'altra importante conseguenza del lemma di Noether è che ogni catena di ideali primi di $A$ può essere raffinata ad una catena massimale di lunghezza $d$ (dove $d$ è sempre la dimensione di $A$); in particolare, su $P$ è un ideale primo, allora $\dim A=\dim A_P+\dim A/P$. Ad esempio, se $f$ è un elemento di $A$ e non è un divisore dello zero, l'anello $A/(f)$ ha dimensione $\dim A-1$.

Il lemma di Noether può anche essere utilizzato per dimostrare il teorema degli zeri di Hilbert.

Geometricamente, il lemma di Noether può essere interpretato in termini di mappe tra varietà affini: in questo contesto afferma che, se $X$ è una varietà affine di dimensione $d$, allora esiste una mappa finita $\psi :X⟶{𝔸}^d$ (dove ${𝔸}^d$ è lo spazio affine $d$-dimensionale).

Bibliografia

• Template:Cita libro
• Template:Cita libro

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni