Varietà affine

Template:F In geometria algebrica, una varietà affine è il sottoinsieme di uno spazio affine $n$-dimensionale su un campo algebricamente chiuso $k$ caratterizzato dall'annullarsi simultaneo di tutti i polinomi di un sottoinsieme di $k[x_1,\dots ,x_n]$. Un aperto (secondo la topologia di Zariski) di una varietà affine è detto varietà quasi affine.

Morfismi tra varietà affini

Una funzione regolare per una varietà affine $X$ è una funzione $f:X\to k$ tale che per ogni punto $P\in X$ esiste un intorno del punto in cui $f(x)=g(x)/h(x)$, dove $g,h\in k[x_1,\dots ,x_n]$. L'insieme di tutte le funzioni regolari su $X$ è l'anello $𝒪(X)$.

Un morfismo tra due varietà è una funzione $\varphi :X\to Y$ che induce un morfismo di anelli ${\varphi }^{\star }:𝒪(Y)\to 𝒪(X):f\mapsto f\circ \varphi$.

Algebra affine

Dato un insieme qualsiasi di polinomi, la varietà affine che definiscono è la stessa definita dall'ideale $I(X)$ generato da questi polinomi. Si può quindi definire l'algebra affine di una varietà affine $X$ come la $k$-algebra finitamente generata $A(X)=k[x_1,\dots ,x_n]/I(X)$.

Si dimostra che due varietà affini sono isomorfe se e solo se le loro algebre affini sono isomorfe. Inoltre se si associa ad ogni varietà affine la propria algebra e ad ogni morfismo $\varphi$ il morfismo ${\varphi }^{\star }$, si ottiene un funtore controvariante tra la categoria delle varietà affini e quella delle $k$-algebre finitamente generate.

Proprietà

• Per la noetherianità dell'anello dei polinomi, ci si può ridurre a considerare un numero finito di polinomi.
• Per definizione, una varietà affine è chiusa secondo la topologia di Zariski, ma in quanto intersezione finita di luoghi di zeri, è chiusa anche per la topologia standard se $k=ℂ$ o $k=ℝ$.
• Le varietà affini formano una categoria sia con i morfismi di varietà, sia con le mappe razionali.

Voci correlate

• Varietà proiettiva

Collegamenti esterni

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