Lemma di Slutsky

Template:F Il lemma di Slutsky è una delle applicazioni del teorema di Slutsky, utilizzato in particolare per dimostrare che la continuità di una funzione $g : ℝ^{k} \to ℝ$ è condizione necessaria e sufficiente per la conservazione della convergenza in probabilità.

Lemma

Siano $X_{n}$ e $X$ variabili casuali k-dimensionali; considero $g : ℝ^{k} \to ℝ$ continua e ipotizzo che $X_{n} \overset{p}{\to} X$ . Allora:

$g (X_{n}) \overset{p}{\to} g (X)$

Fisso $ε > 0$ . Considero un compatto $S$ t.c. $P (X \notin S) \leq \frac{1}{2} ε$ . Dunque: $P (X \in S) \geq 1 - \frac{1}{2} ε$ . Dal teorema di Heine-Cantor, so che una funzione continua su un compatto è anche uniformemente continua, cioè

\forall η > 0, \exists δ > 0

t.c. se

{X \in S, | X - Y | \leq δ}

allora

{| g (X) - g (Y) | < η}

.

Per ipotesi so che $X_{n} \overset{p}{\to} X$ , cioè

\exists n_{0}

t.c.

\forall n \geq n_{0}

,

P (| X_{n} - X | < δ) \geq 1 - \frac{1}{2} ε

Ora

P (| X_{n} - X | < δ) = P (| X_{n} - X | < δ, X \in S) + P (| X_{n} - X | < δ, X \notin S) \leq

\leq P (| X_{n} - X | < δ, X \in S) + P (X \notin S) \leq P (| X_{n} - X | < δ, X \in S) + \frac{1}{2} ε

Dunque

P (| X_{n} - X | < δ, X \in S) \geq 1 - ε

P (| g (X_{n}) - g (X) | < η) \geq 1 - ε

cioè

g (X_{n}) \overset{p}{\to} g (X)

che è la tesi.