Isomorfismo musicale

L'isomorfismo musicale è un isomorfismo tra uno spazio vettoriale reale $V$ e il suo spazio duale $V^{*},$ che è indotto da una forma bilineare simmetrica non degenere. Nell'ambito della geometria riemanniana, si tratta di un isomorfismo tra il fibrato tangente $T (M)$ di una varietà riemanniana $(M, g)$ e il suo fibrato cotangente $T^{*} (M),$ che è indotto dalla metrica $g .$

Definizione

Sia $V$ uno spazio vettoriale reale di dimensione finita. È noto che $V$ e il suo duale $V^{*}$ sebbene abbiano la stessa dimensione non sono canonicamente isomorfi. Tuttavia fissata una forma bilineare simmetrica non degenere $g (\cdot, \cdot)$ su $V,$ si verifica che la mappa

V \to V^{*} : 𝐯 \mapsto g (𝐯, \cdot)

è un isomorfismo di spazio vettoriali, che è detto isomorfismo musicale ed è indicato con il simbolo di bemolle $♭ .$ Il suo inverso, che è un isomorfismo $V^{*} \to V,$ è invece denotato con il simbolo di diesis $# .$ Nel caso di una varietà riemanniana $(M, g)$ la metrica $g$ definisce in ogni punto $p \in M$ una forma bilineare simmetrica non degenere $g_{p} (\cdot, \cdot)$ e quindi degli isomorfismi

♭ : T_{p} (M) \to T_{p}^{*} (M)

e

# : T_{p}^{*} (M) \to T_{p} (M)

tra lo spazio tangente $T_{p} (M)$ e lo spazio cotangente $T_{p}^{*} (M),$ questi si estendono a isomorfismi tra il fibrato tangente e il fibrato cotangente di $M$ .

Origine del nome

L'origine del nome isomorfismo "musicale" si comprende scrivendo i vettori in componenti. Sia ${𝐞_{1}, \dots, 𝐞_{n}}$ una base di $V$ e sia ${𝐞^{1}, \dots, 𝐞^{n}}$ la corrispondente base duale di $V^{*},$ cioè vale $𝐞^{i} (𝐞_{j}) = δ_{j}^{i},$ dove $δ_{j}^{i}$ è la delta di Kronecker. Siano poi $g_{i j}$ le componenti della forma bilineare $g (\cdot, \cdot)$ rispetto alla base $𝐞^{i} \otimes 𝐞^{j}$ , ossia $g = g_{i j} 𝐞^{i} \otimes 𝐞^{j},$ dove si è usata la convenzione di Einstein per le somme su indici ripetuti. Allora per un generico vettore $𝐯 = v^{i} 𝐞_{i} \in V$ le componenti $v_{i}$ di $𝐯^{♭},$ cioè gli scalari che soddisfano $𝐯^{♭} = v_{i} 𝐞^{i},$ sono date da $v_{i} = v^{j} g_{i j} .$ Quest'ultima operazione "abbassa gli indici" analogamente a come il bemolle abbassa il tono delle note musicali. Similmente la relazione $v^{i} = v_{j} g^{i j},$ dove $g^{i j}$ sono le componenti della matrice inversa della matrice di componenti $g_{i j},$ permette di "alzare gli indici", come il $#$ alza il tono delle note musicali.

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