Invariante dinamico

In meccanica razionale l'invariante dinamico è una grandezza scalare caratteristica dell'atto di moto di un corpo rigido, e vale:

$I_{D (t)} = 𝐑_{(t)} \cdot 𝐌_{(t)}$

La sua invarianza deriva dalla relazione tra momento meccanico M e forza F risultanti su un corpo rigido, e dalle proprietà del prodotto misto:

𝐑 \cdot 𝐌 = 𝐑 \cdot 𝐌^{'} + 𝐑 \cdot 𝐑 \times 𝐫 = 𝐑 \cdot 𝐌^{'}

,

Da questa dimostrazione si evince infatti come I_D sia unico per tutti i punti del corpo rigido, mentre non si mantiene generalmente costante durante il moto.

Quando l'invariante scalare è nullo il sistema dinamico è equivalente ad una forza pura, nel caso in cui il momento risultante sia nullo o i due vettori siano perpendicolari, o ad una pura coppia, nel caso in cui la forza risultante sia nulla.

Definizione

Dati

𝐌_{P} = \sum_{i = 1}^{N} (A_{i} - P) \times 𝐮_{i}

dove $A_{i}$ sono i punti di applicazione dei vettori $𝐮_{i}$ , e

𝐑 = \sum_{i = 1}^{N} 𝐮_{i}

l'invariante scalare è definito come

I = 𝐌_{P} \cdot 𝐑 = M_{P} R \cos θ

con $M_{P}$ modulo di $𝐌_{P}$ , $R$ modulo di $𝐑$ e θ valore dell'angolo compreso tra $𝐌_{P}$ e $𝐑$ .

Equivalenza tra momenti di poli diversi

Il termine invariante è dovuto al fatto che esso non dipende dal polo scelto, cioè

I = 𝐌_{P} \cdot 𝐑 = 𝐌_{Q} \cdot 𝐑

con P e Q poli distinti.

Dimostrazione

Per la teoria di equivalenza il momento di un polo Q, dato $𝐌_{P}$ , vale

𝐌_{Q} = 𝐌_{P} + (P - Q) \times 𝐑

moltiplicando scalarmente per $𝐑$ entrambi i membri si ottiene

𝐌_{Q} \cdot 𝐑 = 𝐌_{P} \cdot 𝐑 + (P - Q) \times 𝐑 \cdot 𝐑

sfruttando la proprietà ciclica del prodotto misto la relazione diventa

𝐌_{Q} \cdot 𝐑 = 𝐌_{P} \cdot 𝐑 + (P - Q) \cdot 𝐑 \times 𝐑

ma

𝐑 \times 𝐑 = 𝟎

perché $𝐑$ è parallelo a se stesso, e quindi

𝐌_{Q} \cdot 𝐑 = 𝐌_{P} \cdot 𝐑 = I

Uso dell'invariante scalare

Ricerca dell'asse centrale

Dal valore che l'invariante scalare assume è possibile ricavare l'asse centrale (luogo dei poli di momento minimo) del sistema di vettori o, in mancanza di esso, almeno un polo di momento minimo o nullo. Supponendo un sistema di vettori a risultante $𝐑$ non nullo, tale che R > 0, si possono ottenere i seguenti casi:

I=0
- $𝐌_{P} = 𝟎$ : allora P appartiene all'asse centrale, che è la retta passante per P parallela a $𝐑$
- $𝐌_{P} ⊥ 𝐑$ : allora esiste un polo Q di momento nullo. Infatti:

𝐑 \times 𝐌_{Q} = 𝐑 \times 𝐌_{P} + 𝐑 \times [(P - Q) \times 𝐑] = 𝟎

\Rightarrow 𝐑 \times 𝐌_{P} + (𝐑 \cdot 𝐑) (P - Q) - [𝐑 \cdot (P - Q)] 𝐑 = 𝟎

ma

[𝐑 \cdot (P - Q)] 𝐑 = 𝟎

, e quindi

\Leftrightarrow (Q - P) = \frac{𝐑 \times 𝐌_{P}}{R^{2}}

I≠0
- $I = M_{P} R \cos θ$ : allora il momento $𝐌_{P}$ è minimo quando la risultante è parallela al momento stesso. Infatti:

\Rightarrow M_{P} = \frac{I}{R \cos θ} = \frac{1}{R} \frac{| I |}{| \cos θ |}

M_{P}

è minimo

\Leftrightarrow \cos θ = 1 \Leftrightarrow θ_{1} = 0, θ_{2} = π \Leftrightarrow 𝐌_{P} / / 𝐑

Massima riducibilità di un sistema di vettori applicati

L'invariante scalare è indice della possibilità di ridurre il numero dei componenti di un dato sistema di vettori in una quantità minima di un sistema ad esso equivalente. Si presentano i seguenti casi:

I=0
- $𝐑 = 𝟎, 𝐌_{P} = 𝟎$ : il sistema è equilibrato, ossia equivalente ad un vettore nullo applicato in un punto qualunque
- $𝐑 = 𝟎, 𝐌_{P} \neq 𝟎$ : il sistema è equivalente ad una coppia di momento $𝐌_{P}$
- $𝐑 \neq 𝟎, 𝐌_{P} = 𝟎$ : il sistema è equivalente al vettore $𝐑$ applicato nel polo P appartenente all'asse centrale
- $𝐑 \neq 𝟎, 𝐌_{P} \neq 𝟎 \Rightarrow 𝐑 ⊥ 𝐌_{P}$ : allora esiste un polo $Q : (Q - P) = \frac{𝐑 \times 𝐌_{P}}{R^{2}}, 𝐌_{Q} = 𝟎$ . Il sistema è equivalente al vettore $𝐑$ applicato in Q appartenente all'asse centrale
$I \neq 0$

𝐑 \neq 𝟎, 𝐌_{P} \neq 𝟎 \forall P

: il sistema è equivalente al vettore

𝐑

applicato nel polo P con una coppia di momento

𝐌_{P}

Bibliografia

Mauro Fabrizio, Elementi di meccanica classica, Bologna, Zanichelli, 2002

Voci correlate

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