Integrale di Grassman

In fisica matematica, un integrale di Grassman (o un integrale di Berezin) è un modo per definire l'integrazione per funzioni di variabili di Grassmann. Esso non è un integrale nel senso di Lebesgue: si chiama integrazione, perché ha proprietà analoghe e dato che è usato in fisica come una somma "sul cammino" di fermioni, come un'estensione dell'integrazione sul cammino. La tecnica è stata inventata dal fisico David John Candlin nel 1956, ma a volte prende il nome dal matematico russo Felix Berezin, che l'ha incluso in un trattato nel suo libro di testo.

Definizione

L'integrale di Berezin è definito come un funzionale lineare, ovvero:

$\int [af(\theta )+bg(\theta )]d\theta =a\int f(\theta )d\theta +b\int g(\theta )d\theta$

dove noi definiamo:

$\int \theta d\theta =1$ ;

$\int d\theta =0$ ;

così che:

$\int \frac{\partial }{\partial \theta }f(\theta )d\theta =0.$

Queste proprietà definiscono l'integrale in modo univoco.

$\int (a\theta +b)d\theta =a.$

Questa è la funzione più generale, perché ogni funzione omogenea di una variabile Grassmann è costante o è lineare.

Numero di Grassmann

In Fisica matematica, un numero di Grassmann (chiamato numero anticommutante) è una quantità ${\theta }_i$ che anticommuta con gli altri numeri di Grassmann , ma commuta con i numeri ordinari $x_j$,

${\theta }_i{\theta }_j=-{\theta }_j{\theta }_i{\theta }_i{x}_j=x_j{\theta }_i.$

In particolare, il quadrato di un numero di Grassmann è nullo:

${\theta }_i{\theta }_i=0.$

L'algebra generata da un insieme di numeri di Grassmann è nota come algebra di Grassmann (o algebra esterna). L'algebra di Grassmann generata da n numeri di Grassmann linearmente indipendenti ha dimensione 2ⁿ. Questi enti prendono il nome da Hermann Grassmann. Ad esempio se n=3, abbiamo gli elementi linearmente indipendenti:

${\theta }_1,{\theta }_2,{\theta }_3$

${\theta }_1{\theta }_2,{\theta }_2{\theta }_3,{\theta }_3{\theta }_1$

${\theta }_1{\theta }_2{\theta }_3$

che insieme all'unità 1, formano uno spazio 2³=8-dimensionale.

L'algebra di Grassman è l'esempio prototipo di algebre supercommutative. Queste sono algebre con una decomposizione in variabili pari e dispari che soddisfa una versione gradata della commutatività (in particolare, elementi dispari anticommutano).

Rappresentazione matriciale

I numeri di Grassmann possono sempre venire rappresentati da matrici. Consideriamo, ad esempio, l'algebra di Grassmann generata da due numeri di Grassmann ${\theta }_1$ e ${\theta }_2$. Questi numeri possono essere rappresentati da matrici 4×4 :

${\theta }_1=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]{\theta }_2=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\end{array}\right]{\theta }_1{\theta }_2=-{\theta }_2{\theta }_1=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right]$

In generale, una algebra di Grassmann con n generatori può venire rappresentata da 2ⁿ × 2ⁿ matrici quadrate. Fisicamente queste matrici possono venir pensate come operatori di creazione agenti su uno spazio di Hilbert di n fermioni nella base del numero di occupazione. Dal momento che il numero di occupazione per ciascun fermione è o 0 o 1, ci sono 2ⁿ stati possibili. Matematicamente, queste matrici possono essere interpretate come operatori lineari corrispondenti alla moltiplicazione sinistra dell'algebra esterna sull'algebra di Grassmann stessa.

Applicazioni

I numeri di Grassman sono anche importanti nella definizione di supervarietà (o superspazio), dove vengono utilizzate come "coordinate anticommutanti", oltre a definire gli integrali sulle variabili di Grassman, noti come integrali di Berezin.

Bibliografia

• Theodore Voronov: Geometric integration theory on Supermanifolds, Harwood Academic Publisher, ISBN 3-7186-5199-8
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• A. Berezin, The Method of Second Quantization, Academic Press, (1966)

Voci correlate

• Algebra di Grassmann
• Bereziniano
• Numeri di Grassmann
• Superspazio

Collegamenti esterni

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• Template:EnTemplate:Collegamento interrotto, M. F. Sohnius, 1985.