Sommersione

In matematica una sommersione è una mappa tra varietà differenziali il cui differenziale è suriettivo. La nozione di sommersione è duale a quella di Immersione (geometria).

Definizione

Siano $M$ ed $N$ due varietà differenziali, di dimensione $m,n$ rispettivamente con $m\ge n$. La funzione differenziabile $f:M\to N$ è una sommersione nel punto $p\in M$ se il suo differenziale

$D{f}_p:T_{p}M\to T_{f(p)}N$

è suriettivo.

Se la funzione $f$ è una sommersione in ogni punto $p\in U\subseteq N$ per qualche insieme $U$, allora si dice che $f$ è una sommersione in $U$, o anche che $f$ è sommersiva.

Equivalentemente, possiamo affermare che $f$ è sommersiva in $p$ se il differenziale $D{f}_p$ ha rango massimo $n$.

Esempi

• La proiezione naturale $\pi :{ℝ}^m\to {ℝ}^n$ dove $m\ge n$ definita come $\pi (x_1,\dots ,x_m)=(x_1,\dots ,x_n)$ è una sommersione
• Una funzione scalare $f:A\subseteq {ℝ}^m\to ℝ$ è sommersiva in $p\in A$ se e solo se $\mathrm{\nabla }f(x_0)\ne 0$
• Un diffeomorfismo locale è una sommersione (e anche un'immersione)

Voci correlate

• Immersione (geometria)

Collegamenti esterni

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