Funzioni trigonometriche complesse

Le funzioni trigonometriche complesse sono la generalizzazione al campo dei numeri complessi delle normali funzioni trigonometriche definite nel campo dei numeri reali e vengono generalmente costruite introducendo in esse la variabile complessa

$z:=x+iy$

Seno e coseno

Dalle formule di Eulero, valide per ogni x:

$\{\begin{array}{c}{e}^{ix}=\cos x+i\sin x\\ e^{-ix}=\cos x-i\sin x\end{array}$

si ricavano le definizioni di seno e coseno che sono funzioni intere del piano complesso:

$\{\begin{array}{c}\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\\ \cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\end{array}$

Diamo alcune proprietà (altre sono come le rispettive proprietà reali) delle funzioni seno e coseno:

${\sin }^{2}z+{\cos }^{2}z=1$

$\{\begin{array}{c}\sin 2z=2\sin z\cos z\\ \cos 2z={\cos }^{2}z-{\sin }^{2}z\end{array}$

$\{\begin{array}{c}\sin (z_1+z_2)=\sin z_1\cos z_2+\cos z_1\sin z_2\\ \cos (z_1+z_2)=\cos z_1\cos z_2-\sin z_1\sin z_2\end{array}$

$2\sin z_1\cos z_2=\sin (z_1+z_2)+\sin (z_1-z_2)$

Tangente e cotangente

La tangente e la cotangente complessa sono definite sempre a partire da seno e coseno:

$\{\begin{array}{cc}\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}& ,\cot z=\frac{\cos z}{\sin z}\\ \sec z=\frac{1}{\cos z}& ,\csc z=\frac{1}{\sin z}\end{array}$

Osserviamo che sia la tangente che la secante sono analitiche ovunque eccetto nelle singolarità: $z=\frac{\pi }{2}+n\pi$, che sono i punti in cui si annulla il coseno al denominatore; viceversa la cotangente e la cosecante hanno singolarità in $z=n\pi$, che sono i punti che annullano il seno al denominatore.

Funzioni iperboliche

$\{\begin{array}{c}\sinh z=\frac{e^z-e^{-z}}{2}\\ \cosh z=\frac{e^z+e^{-z}}{2}\end{array}$ ;

$\{\begin{array}{cc}\tanh z=\frac{\sinh z}{\cosh z}& ,\coth z=\frac{1}{\tanh z}\\ \mathrm{sech}z=\frac{1}{\cosh z}& ,\mathrm{csch}z=\frac{1}{\sinh z}\end{array}$

Il seno e il coseno iperbolico sono funzioni intere di tutto il piano complesso.

Alcune proprietà visto anche il legame con il seno e il coseno:

$\{\begin{array}{cc}\sin z=-i\sinh (iz)& ,\sinh z=-i\sin (iz)\\ \cos z=\cosh (iz)& ,\cosh z=\cos (iz)\end{array}$

$-{\sinh }^{2}z+{\cosh }^{2}z=1$

$\{\begin{array}{c}\sinh (z_1+z_2)=\sinh z_1\cosh z_2+\cosh z_1\sinh z_2\\ \cosh (z_1+z_2)=\cosh z_1\cosh z_2+\sinh z_1\sinh z_2\end{array}$

Voci correlate

• Analisi complessa
• Funzioni trigonometriche