Secante (trigonometria)

Grafico della funzione secante

In matematica, la secante di un angolo è una funzione trigonometrica definita come il reciproco del coseno dello stesso angolo, ossia:

$\sec \alpha =\frac{1}{\cos \alpha }.$

Definizione geometrica

Fig. 1 - Geometricamente, la secante può essere vista anche come l'ipotenusa del triangolo rettangolo avente come cateti il raggio della circonferenza unitaria e la tangente dell'angolo

Data una circonferenza unitaria di centro $O$, l'angolo al centro $\theta$ tale che $\theta =\frac{\pi }{2}+k\pi$, con $k\in \mathbb{Z}$, individua su questa un punto $C$. La retta tangente alla circonferenza in $C$ interseca l'asse $x$ nel punto $B$; si definisce secante di $\theta$ l'ascissa del punto $B$ così definito (vedi Fig. 2).

In un triangolo rettangolo la secante di uno dei due angoli acuti corrisponde al rapporto fra l'ipotenusa e il cateto adiacente: da questa affermazione emerge che la secante corrisponde all'ipotenusa del triangolo rettangolo avente come cateti il raggio della circonferenza unitaria e la tangente dello stesso angolo (vedi Fig. 1); da ciò, per il teorema di Pitagora, si ottengono le formule:

${\sec }^2\theta =1+{\tan }^2\theta ,$

$\sec \theta =\sqrt{1+{\tan }^2\theta },$

comunque deducibili dalla definizione di secante.

La funzione secante è definita su tutto $ℝ$ tranne che nei punti $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, con $k\in \mathbb{Z}$, mentre la sua immagine è tutto l'insieme $ℝ$ escluso l'intervallo $(-1,1)$.

$\sec :ℝ\setminus \{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}\to ℝ\setminus (-1,1)$

Dimostrazione

Fig. 2 - Relazione tra secante, secante esterna, cosecante e cosecante esterna

Dimostriamo che $\sec \theta =\frac{1}{\cos \theta }$.

Il triangolo $\stackrel{△}{AOG}$ è simile al triangolo $\stackrel{△}{COB}$ (vedi fig.1).

Per il teorema di Talete vale la proporzione:

$\frac{OC}{OB}=\frac{OG}{OA}$

Ora

$OB=\cos \theta ,$

$OC=1,$

$OG=\sec \theta ,$

$OA=1.$

Quindi:

$\frac{1}{\cos \theta }=\frac{\sec \theta }{1},$

da cui

$\sec \theta =\frac{1}{\cos \theta }.$

Calcolo dell'insieme di definizione e dell'immagine

I punti $x=\frac{\pi }{2}+k\pi \in ℝ$ devono essere esclusi dal dominio, poiché la funzione $\cos$ si trova al denominatore e si annulla in questi punti. Per quanto riguarda l'immagine, invece, si ha

$\mathrm{\forall }x\in ℝ,-1\le \cos x\le 1,$

ossia

$\mathrm{\forall }x\in ℝ,\cos x\ge -1\wedge \cos x\le 1.$

Pertanto

$\mathrm{\forall }x\in ℝ,\frac{1}{\cos x}=\sec x\le -1\wedge \frac{1}{\cos x}=\sec x\ge 1,$

ossia

$\mathrm{\forall }x\in ℝ,\sec x\in (-\mathrm{\infty },-1]\cup [1,+\mathrm{\infty }]=ℝ\setminus (-1,1).$

Valori notevoli

Una tabella di alcuni valori notevoli può essere ottenuta facilmente ricordando che $\sec x=\frac{1}{\cos x}$:

$x$ in radianti	0	$\frac{\pi }{12}$	$\frac{\pi }{6}$	$\frac{\pi }{4}$	$\frac{\pi }{3}$	$\frac{5}{12}\pi$	$\frac{\pi }{2}$	$\pi$	$\frac{3\pi }{2}$	$2\pi$
$x$ in gradi	0°	15°	30°	45°	60°	75°	90°	180°	270°	360°
$\sec (x)$	$1$	$\sqrt{6}-\sqrt{2}$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{2}$	$2$	$\sqrt{6}+\sqrt{2}$	$\nexists$	$-1$	$\nexists$	$1$

Derivate

La derivata prima della secante, e le sue derivate successive, si ottengono ricordando la sua definizione ed applicando la regola di derivazione di una quoziente:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sec x=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{1}{\cos x}=\frac{\sin x}{{\cos }^{2}x}=\sec x\cdot \tan x.$

$\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{x}^2}\sec x=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\tan x}{\cos x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\sin x}{{\cos }^{2}x}=\frac{1+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{3}x}={\sec }^{3}x(1+{\sin }^{2}x).$

Relazione trigonometrica secante-cosecante

Conseguenza della prima relazione fondamentale della trigonometria $({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1)$ è la seguente relazione tra secante e cosecante:

${\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}}^{2}x+{\sec }^{2}x={\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}}^{2}x\cdot {\sec }^{2}x$

per ogni $x\ne k\frac{\pi }{2}$ con $k\in \mathbb{Z}$.

La relazione si ottiene facilmente dividendo la relazione fondamentale per ${\sin }^{2}x\cdot {\cos }^{2}x$.

Bibliografia

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Collegamenti esterni

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