Funzione logaritmicamente convessa

In matematica, una funzione f è logaritmicamente convessa o superconvessa se $\log \circ f$, ossia la composizione della funzione logaritmo con f, è una funzione convessa.

Definizione

Sia $X$ un sottoinsieme convesso di uno spazio vettoriale reale e sia $f:X\to ℝ$ una funzione che assume valori positivi. Allora $f$ è:

• logaritmicamente convessa se $\log \circ f$ è convessa;
• logaritmicamente convessa strettamente se $\log \circ f$ è strettamente convessa.

La funzione costantemente nulla è logaritmicamente convessa per definizione.

Esplicitamente, $f$ è logaritmicamente convessa se e solo se, per ogni $x_1,x_2\in X$ e per ogni $t\in [0,1]$, vale la seguente condizione:

$f(t{x}_1+(1-t)x_2)\le f(x_1{)}^{t}f(x_2{)}^{1-t}.$

Allo stesso modo, $f$ è logaritmicamente convessa strettamente se e solo se nell'espressione scritta sopra vale la disuguaglianza stretta per ogni $t\in (0,1)$.

Se $f\equiv ̸0$, allora la precedente disuguaglianza, per ogni $x_1,x_2\in X$ e per ogni $t\in [0,1]$, equivale a:

$\log f(t{x}_1+(1-t)x_2)\le t\log f(x_1)+(1-t)\log f(x_2).$

E, allo stesso modo, $f\equiv ̸0$ è logaritmicamente convessa strettamente se e solo se nell'espressione scritta sopra vale la disuguaglianza stretta per ogni $t\in (0,1)$.

Condizioni equivalenti

Se $f\equiv ̸0$ è una funzione differenziabile definita su un intervallo $I\subseteq ℝ$, allora $f$ è logaritmicamente convessa se e solo se vale la seguente condizione per ogni $x$ e $y$ in $I$:

$\log f(x)\ge \log f(y)+\frac{f^{\prime }(y)}{f(y)}(x-y).$

Ciò è equivalente alla condizione secondo la quale ogni volta che $x$ e $y$ sono in $I$ e $x>y$,

${\left(\frac{f(x)}{f(y)}\right)}^{\frac{1}{x-y}}\ge \exp \left(\frac{f^{\prime }(y)}{f(y)}\right).$

Inoltre, $f\equiv ̸0$ è logaritmicamente convessa strettamente se e solo se queste disuguaglianze sono sempre strette.

Se $f$ è due volte differenziabile, allora è logaritmicamente convessa se e solo se, per ogni $x$ in $I$,

$f^{″}(x)f(x)\ge f^{\prime }(x{)}^2.$

Se la disuguaglianza è sempre stretta, allora $f$ è logaritmicamente convessa strettamente. Tuttavia, il viceversa è falso: è possibile che $f$ sia logritmicamente convessa strettamente e che, per qualche $x$, si abbia $f^{″}(x)f(x)=f^{\prime }(x{)}^2$. Per esempio, se $f(x)=\exp (x^4)$, allora $f$ è logaritmicamente convessa strettamente, ma $f^{″}(0)f(0)=0=f^{\prime }(0{)}^2$.

Inoltre, $f:I\to (0,+\mathrm{\infty })$ è logaritmicamente convessa se e solo se $e^{\alpha x}f(x)$ è convessa per ogni $\alpha \in ℝ$.

Condizioni sufficienti

Se $f_1,\dots ,f_n$ sono logaritmicamente convesse e se $w_1,\dots ,w_n$ sono numeri reali non negativi, allora $f_1^{w_1}\cdots f_n^{w_n}$ sono logaritmicamente convesse.

Se $\{f_i{\}}_{i\in I}$ è una qualsiasi famiglia di funzioni logaritmicamente convesse, allora $g=\underset{i\in I}{\sup }{f}_i$ è logaritmicamente convessa.

Se $f:X\to I\subseteq ℝ$ è convessa e $g:I\to (0,+\mathrm{\infty })$ è logaritmicamente convessa e non decrescente, allora $g\circ f$ è logaritmicamente convessa.

Proprietà

Una funzione logaritmicamente convessa $f$ è una funzione convessa poiché è la funzione composta della funzione convessa crescente $\exp$ e della funzione $\log \circ f$, che è convessa per definizione. Tuttavia, l'essere logaritmicamente convessa è una proprietà più forte dell'essere convessa: per esempio, la funzione quadrato $f(x)=x^2$ è convessa, ma il suo logaritmo $\log f(x)=2\log |x|$ non lo è. Pertanto, la funzione quadrato non è logaritmicamente convessa.

Esempi

• $f(x)=\exp (|x{|}^p)$ è logaritmicamente convessa se $p\ge 1$ e logaritmicamente convessa strettamente se $p>1$.
• $f(x)=\frac{1}{x^p}$ è logaritmicamente convessa strettamente su $(0,\mathrm{\infty })$ per ogni $p>0.$
• La funzione gamma di Eulero è logaritmicamente convessa strettamente se viene ristretta ai numeri reali positivi. Infatti, mediante il teorema di Bohr-Mollerup, questa proprietà può essere utilizzata per caratterizzare la funzione gamma di Eulero tra le possibili estensioni della funzione fattoriale agli argomenti reali.

Bibliografia

• John B. Conway. Functions of One Complex Variable I, second edition. Springer-Verlag, 1995. Template:Isbn.
• "Convexity, logarithmic", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
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• Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe. Convex Optimization. Cambridge University Press, 2004. ISBN 9780521833783.

Voci correlate

• Funzione convessa
• Logaritmo
• Teorema di Bohr-Mollerup
• Funzione logaritmicamente concava