Funzione di ripartizione empirica

La linea verde identifica la funzione di ripartizione di una variabile casuale normale. La linea blu è la funzione di ripartizione empirica calcolata a partire dal campione normale indicato in grigio sull'asse X

In statistica e teoria della probabilità, la funzione di ripartizione empirica (o funzione cumulativa empirica o ECDF) è una funzione di variabile reale che rappresenta la funzione di ripartizione della misura empirica di un campione. La funzione di ripartizione empirica è una stima della vera funzione di ripartizione che ha generato il campione e grazie al teorema di Glivenko-Cantelli è possibile affermare che essa converge per $n\to \mathrm{\infty }$ con probabilità 1 alla distribuzione del campione.

Definizione

Siano $X_1,X_2,...,X_n$ $n$ variabili indipendenti e identicamente distribuite con la stessa funzione di ripartizione $F(x)$. Allora, la funzione di ripartizione empirica può essere scritta come:

$F_n(x)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{I}_{[-\mathrm{\infty },x]}(X_i)$

dove $I_{[-\mathrm{\infty },x]}(X_i)$ è la funzione indicatrice, uguale a 1 se $X_i\le x$ e uguale a 0 altrimenti. È possibile equivalentemente scriverla nella sua forma estesa come:

$F_n(x)=\{\begin{array}{cc}0& x<X_{(1)}\\ \frac{k}{n}& X_{(k)}<x<X_{(k+1)}\mathrm{\forall }k=1,2,...,n-1\\ 1& x>X_{(n)}\end{array}$

Da cui segue che

$n{F}_n(x)\sim \text{Bin}(n,F(x)).$

Proprietà

La funzione di ripartizione empirica è uno stimatore corretto e consistente della funzione di ripartizione.