Teorema di Glivenko-Cantelli

Template:F Il teorema di Glivenko-Cantelli dimostra che la funzione di ripartizione empirica di una variabile casuale unidimensionale converge, con probabilità 1 uniformemente in $x$, verso l'effettiva funzione di ripartizione.

Il teorema venne formulato nel 1933 da Valerij Ivanovič Glivenko e Francesco Paolo Cantelli.

Il teorema

Siano $X_1,...,X_n$ variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite con funzione di ripartizione $F$.

Sia ${\hat{F}}_n(x):=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\mathrm{𝟏}}_{X_i\le x}$ la funzione di ripartizione empirica che approssima l'ignota $F$, dove il simbolo ${\mathrm{𝟏}}_{X_i\le x}$ indica la funzione indicatrice della variabile casuale $X_i$, definita come:

${\mathrm{𝟏}}_{X_i\le x}=\{\begin{array}{cc}1& \text{se}{X}_i\le x\\ 0& \text{se}{X}_i>x\end{array}$

Si definisce la massima deviazione della distribuzione empirica dalla variabile casuale che ne sta alla base come:

$d_n=\underset{x}{\sup }|{\hat{F}}_n(x)-F(x)|$.

Allora la differenza d_n converge con probabilità 1 verso zero.

$P(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{d}_n=0)=1$

o, equivalentemente, la successione di funzioni ${\hat{F}}_n(x)$ converge a $F(x)$ uniformemente con probabilità 1 per $n\to \mathrm{\infty }$. Template:Portale