Formula di Frobenius

In matematica, più nello specifico nella teoria delle rappresentazioni, la formula di Frobenius, introdotta da G. Frobenius, calcola i caratteri di rappresentazioni irriproducibili del gruppo simmetrico S_n.

Statement

Sia ${\chi }_{\lambda }$ il carattere di una rappresentazione irriproducibile di un gruppo simmetrico $S_n$ corrispondente ad una partizione $\lambda$ of n: $n={\lambda }_1+\cdots +{\lambda }_k$ e${\ell }_j={\lambda }_j+k-j$. Per ogni partizione $\mu$ din, $C(\mu )$ denota il gruppo di coniugio in $S_n$ a lui corrispondente, e sia $i_j$ il numero di volte j che appare in $\mu$ (so $\mathrm{\Sigma }{i}_{j}j=n$). Allora la formula di Frobenius afferma il valore costante di ${\chi }_{\lambda }$ su $C(\mu ),$

${\chi }_{\lambda }(C(\mu )),$

è il coefficiente del monomiale $x_1^{{\ell }_1}\dots x_k^{{\ell }_k}$ nel polinomiale omogeneo

$\prod _{i<j}(x_i-x_j)\prod _j{P}_j(x_1,\dots ,x_k{)}^{i_j},$

dove $P_j(x_1,\dots ,x_k)=x_1^j+\dots +x_k^j$.

Esempio: Sia $n=4$ e $\lambda :4=2+2$. Se $\mu :4=1+1+1+1$, che corrisponde alla classe dell'elemento identità, allora ${\chi }_{\lambda }(C(\mu ))$ è il coefficiente di $x_1^3{x}_2^2$ in

$(x_1-x_2)(x_1+x_2{)}^4$

che è 2. Similarmente, se $\mu :4=3+1$, alora ${\chi }_{\lambda }(C(\mu ))$, dato da

$(x_1-x_2)(x_1+x_2)(x_1^3+x_2^3),$

è −1.

Bibliografia

• A. Ram, A Frobenius formula for the characters of the Hecke algebras, Inventiones mathematicae, vol 106, no 1, pp 461–488, 1991.
• Macdonald, I. G. Symmetric functions and Hall polynomials. Second edition. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1995. x+475 pp. Template:ISBN Template:MathSciNet