Formula di Cauchy-Binet

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la formula di Cauchy-Binet è un risultato che generalizza il teorema di Binet, consentendo di calcolare il determinante del prodotto di due matrici tali per cui il numero di colonne della prima è uguale al numero di righe della seconda e il numero di colonne della seconda è uguale al numero di righe della prima.

La formula è valida per matrici con valori in un qualsiasi anello commutativo.

Enunciato

Siano $A$ e $B$ due matrici rispettivamente di tipo $m\times n$ e $n\times m$. Il loro prodotto $AB$ è quindi una matrice quadrata $m\times m$.

La formula di Cauchy-Binet esprime il determinante di $AB$ come:

$\det (AB)=\sum _S\det (A_S)\det (B_S),$

dove $S$ varia fra i sottoinsiemi con $m$ elementi dell'insieme $\{1,\dots ,n\}$. Per ogni $S$, la matrice $A_S$ è la sottomatrice quadrata di ordine $m\times m$ ottenuta da $A$ prendendo solo le colonne i cui indici appartengono a $S$. Analogamente, $B_S$ è la sottomatrice quadrata di ordine $m\times m$ ottenuta da $B$ prendendo solo le righe i cui indici appartengono a $S$.

Proprietà

• Nel caso in cui $m=n$, la somma si effettua su un solo termine e la formula coincide con l'enunciato del teorema di Binet.
• Se $m>n$, l'insieme $S$ è vuoto ed il determinante è quindi nullo.
• Se $m<n$, l'insieme $S$ consta di $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})$ elementi (il numero è descritto usando un coefficiente binomiale).

Interpretazione nello spazio euclideo

Se $A$ è una matrice reale $m\times n$, il determinante di $A^{t}A$ è uguale al quadrato del volume $m$-dimensionale del parallelotopo in ${ℝ}^n$ generato dalle colonne di $A$.

La formula di Binet-Cauchy descrive quindi questa quantità come la somma dei quadrati dei volumi delle proiezioni ortogonali sui vari sottospazi coordinati di dimensione $m$. Nel caso $m=1$, queste proiezioni ortogonali sono segmenti, e si ritrova una formulazione del teorema di Pitagora.

Relazione con il delta di Kronecker generalizzato

Template:Vedi anche La formula di Cauchy–Binet è equivalente alla relazione:

$\det (L_f{R}_g)=\sum _{S\in (\genfrac{}{}{0ex}{}{[n]}{m})}\det ((L_f{)}_{[m],S})\det ((R_g{)}_{S,[m]}),$

dove:

$L_f=(({\delta }_{f(i),j}{)}_{i\in [m],j\in [n]}),R_g=(({\delta }_{j,g(k)}{)}_{j\in [n],k\in [m]}).$

Si ha inoltre:

${\delta }_{g(1)\dots g(m)}^{f(1)\dots f(m)}=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{k:[m]\to [n]}{k(1)<\dots <k(m)}}{\delta }_{k(1)\dots k(m)}^{f(1)\dots f(m)}{\delta }_{g(1)\dots g(m)}^{k(1)\dots k(m)}.$

Bibliografia

• Template:En Joel G. Broida & S. Gill Williamson. A Comprehensive Introduction to Linear Algebra, §4.6 Cauchy-Binet theorem, pp. 208–14, Addison-Wesley, 1989, ISBN 0-201-50065-5.
• Template:En Shafarevich, Igor R., Remizov, Alexey O. Linear Algebra and Geometry, §2.9 (p. 68) & §10.5 (p. 377), Springer, 2012, ISBN 978-3-642-30993-9.

Voci correlate

• Determinante
• Moltiplicazione di matrici
• Teorema di Binet

Collegamenti esterni

• Template:SpringerEOM