Fattoriale crescente di base q

Template:C In matematica, nel campo della combinatoria, si dice fattoriale crescente di base q nella x relativo a $\mathrm{\infty }$ la serie

$(x;q{)}_{\mathrm{\infty }}:=\prod _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(1-q^{k}x),$

per le variabili complesse x e q; se si pongono problemi di convergenza chiediamo che sia |q|<1.

Si dice invece fattoriale crescente di base q nella x relativo al numero complesso n

$(x;q{)}_n:=\frac{(x;q{)}_{\mathrm{\infty }}}{(q^{n}x;q{)}_{\mathrm{\infty }}}$

Se n è un intero naturale

$(x;q{)}_n:=\prod _{k=0}^{n-1}(1-q^{k}x)=(1-x)(1-xq)(1-x{q}^2)\cdots (1-x{q}^{n-1})$

Risulta quindi individuata una famiglia di successioni di polinomi nella x parametrizzata da q che inizia con i seguenti componenti:

$(x;q{)}_0=1$

$(x;q{)}_1=1-x$

$(x;q{)}_2=(1-x)(1-qx)=1-(1+q)x+q{x}^2$

$(x;q{)}_3=(1-x)(1-qx)(1-q^{2}x)=1-(1+q+q^2)x+(q+q^2+q^3)x^2-q^3{x}^3$

Questi polinomi (formali) sono chiamati anche q-fattoriali crescenti, q-simboli di Pochhammer e simboli di Pochhammer di base q. Essi sono ampiamente utilizzati nelle formule esprimenti proprietà delle serie ipergeometriche di base q.

Notazione con argomenti multipli

Dato che le identità che coinvolgono i q-simboli di Pochhammer spesso contengono il prodotto di più simboli, convenzionalmente si scrive un prodotto come un unico simbolo con argomenti multipli:

$(x_1,x_2,\dots ,x_m;q{)}_n=(x_1;q{)}_n(x_2;q{)}_n\dots (x_m;q{)}_n.$

Bibliografia

• George Gasper, Mizan Rahman (1990): Basic hypergeometric series, Cambridge University Press, ISBN 0521350492
• Roelof Koekoek e Rene F. Swarttouw, The Askey scheme of orthogonal polynomials and its q-analogues, sezione 0.2.

Voci correlate

• Fattoriale crescente
• Funzioni theta di Jacobi

Collegamenti esterni

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